Найти общие решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка

Найдём сначала общее решение соответствующего однородного уравнения y''-8y'+7y=0.Для этого составим характеристическое уравнение ⋏2-8λ+7=0и найдём его корни ⋏1=1,⋏2=7. Общее решение однородного уравнения будет y0.0=C1ex+C1e7x
Построим частное решение данного неоднородного уравнения при помощи метода неопределенных коэффициентов . В заданном уравнении
fx= –частное решение y будем искать в виде:
y=Ax2e4x+Bxe4x+Сe4x
где А, В и C – неизвестные постоянные. Подставим y,y',y'' в данное неоднородное уравнение:
7-81y=Ax2e4x+Bxe4x+Сe4xy'=4Ax2e4x+2Axe4x+4Bxe4x+Be4x+4Сe4xy''=A16x2e4x+16xe4x+2e4x+B16xe4x+8Be4x+16Сe4x
------------------------------------------------
A16x2e4x+16xe4x+2e4x+B16xe4x+8e4x+16Сe4x-
-84Ax2e4x+2Axe4x+4Bxe4x+Be4x+4Сe4x
+7Ax2e4x+Bxe4x+Сe4x=x2e4x
Приравняем коэффициенты при x и при x0 в левой и правой частях тождества.
при x2при x1при x0-9A=1-9B=02A-9C=0
Решая полученную систему трех уравнений с тремя неизвестными, находим A=-19, B=0, С=-281