Найти общее решение линейного дифференциального уравнения

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Найдем общее решение линейного однородного уравнения:
y''-3y'+2y=0
Составим и решим характеристическое уравнение:
k2-3k+2=0
D=9-8=1
k1=3-12=1 k2=3+12=2
Так как корни характеристического уравнения действительные различные, то общее решение однородного уравнения запишем в виде:
y0=C1ex+C2e2x
Общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде:
y=C1xy1x+C2xy2x, y1x=ex, y2x=e2x
Неизвестные функции C1x, C2x найдем из системы уравнений:
C1'xy1x+C2'xy2x=0C1'xy1'x+C2'xy2'x=e3x1+e2x
C1'xex+C2'xe2x=0C1'xex+2C2'xe2x=e3x1+e2x
Решим систему по формулам Крамера:
∆=exe2xex2e2x=2e3x-e3x=e3x
∆1=0e2xe3x1+e2x2e2x=-e5x1+e2x
∆2=ex0exe3x1+e2x=e4x1+e2x
C1'(x)=∆1∆=-e2x1+e2x
C2'x=∆2∆=ex1+e2x
C1x=-e2x1+e2xdx=-12d(1+e2x)1+e2x=-12ln(1+e2x)+C3
C2x=ex1+e2xdx=dex1+(ex)2=arctg ex+C4
Общее решение уравнения:
y=-12ln1+e2x+C3ex+arctg ex+C4e2x
Ответ:
y=-12ln1+e2x+C3ex+arctg ex+C4e2x