Найти неопределенные интегралы В пунктах а) и б) результаты проверить дифференцированием

Arcsin3x-11-x2dx=t=arcsinxdt=dx1-x2=t3-1dt=t44-t+C=arcsin4x4-arcsinx+C
Проверка:
arcsin4x4-arcsinx+C'=14*4arcsin3x*arcsinx'-11-x2=arcsin3x1-x2-11-x2=arcsin3x-11-x2
б) x+1cos2xdx=uv-vdu=u=x+1du=dxdv=dxcos2xv=tgx=x+1tgx-tgxdx=x+1tgx+lncosx+C
Проверка:
x+1tgx+lncosx+C'=x+1'tgx+x+1tgx'+1cosx*cosx'=tgx+x+1cos2x-sinxcosx=x+1cos2x
в) 3x-1x2+x+1dx
Рассмотрим интегрирование правильной дроби . Для этого ее надо представить в виде суммы простейших дробей.
3x-1x2+x+1=Ax-1+Bx+Cx2+x+1=Ax2+Ax+A+x-1Bx+Cx-1x2+x+1=Ax2+Ax+A+Bx2-Bx+Cx-Cx-1x2+x+1
Где А, В и C – неопределенные коэффициенты, так как
3x-1x2+x+1=x2A+B+xA-B+C+A-Cx-1x2+x+1
То для определения коэффициентов А, В и C получаем систему:
A+B=0,A-B+C=0,A-C=3
A=-B,-B-B+C=0,-B-C=3
A=-B,-2B+C=0,-B-C=3
A=-B,C=2B,-B-2B=3
A=-B,C=2B,-3B=3
A=-B,C=2B,B=-1
A=1,C=-2,B=-1
Таким образом, правильная дробь представляется суммой двух простейших дробей:
3x-1x2+x+1=1x-1-x+2x2+x+1
Выполним теперь интегрирование исходного интеграла:
3x-1x2+x+1dx=1x-1-x+2x2+x+1dx=dxx-1-x+2x2+x+1dx=lnx-1-x+2x+122+34dx=t=x+12dt=dxx=t-12=lnx-1-t-12+2t2+34dt=lnx-1-t+32t2+34dt=lnx-1-tdtt2+34-32dtt2+34=lnx-1-12ln4t2+3-32*23*arctg2t3+C=lnx-1-12ln4*x+122+3-3arctg2*x+123+C=lnx-1-12ln4x2+4x+4-3arctg2x+13+C
г) xx+2dx=t2=xdx=2tdt=t2t2+2*2tdt=2t2t2+2dt=2-4t2+2dt=2t-22arctgt2+C=2x-22arctgx2+C