Найти неопределенные интегралы а) x arctg2xdx

А) а) x arctg2xdx=uv-vdu=u=arctg2xdu=2dx1+4x2dv=xdxv=x22=x22arctg2x-x22*2dx1+4x2=x22arctg2x-x2dx1+4x2=x22arctg2x-14-141+4x2dx=x22arctg2x-x4+18arctg2x+C
б) 17x+10x3+2x2+10xdx=17x+10xx2+2x+10dx
Рассмотрим теперь интегрирование правильной дроби. Для этого ее надо представить в виде суммы простейших дробей.
17x+10xx2+2x+10=Ax+Bx+Cx2+2x+10=Ax2+2Ax+10A+Bx2+Cxxx2+2x+10
Где А, В и C – неопределенные коэффициенты, так как
17x+10xx2+2x+10=x2A+B+x2A+C+10Axx2+2x+10
То для определения коэффициентов А, В и C получаем систему:
A+B=0,2A+C=17,10A=10.
1+B=0,2+C=17,A=1.
B=-1,C=15,A=1.
Таким образом, правильная дробь представляется суммой двух простейших дробей:
17x+10xx2+2x+10=1x+-x+15x2+2x+10
Выполним теперь интегрирование исходного интеграла:
17x+10x3+2x2+10xdx=17x+10xx2+2x+10dx=1x+-x+15x2+2x+10dx=dxx+-x+15x2+2x+10dx=lnx+-x+15x2+2x+10dx=lnx+-x+15x2+2x+1+9dx=lnx+-x+15x+12+9dx=t=x+1dt=dxx=t-1=lnx+-t-1+15t2+9dt=lnx+-t+16t2+9dt=lnx-tdtt2+9+16dtt2+9=lnx-12lnt2+9+16*13arcgt3+C=lnx-12lnx+12+9+163arcgx+13+C=lnx-12lnx2+2x+10+163arcgx+13+C