Найти наибольшее и наименьшее значение функции z=x2y в области

Построим указанную область на чертеже:
Найдем стационарные точки из условия:
∂z∂x=0∂z∂y=0
∂z∂x=x2yx'=2x2y
∂z∂y=x2yy'=x2
x2=02x2y=0 x=0y∈R
Заданной области принадлежит точка M1(0;0)
Найдем точки пересечений графиков:
x2=x x=0 x=1 => y=0 y=1 M2(1;1)
Исследуем границу области:
y=x2 x∈[0;1]
y'=2x Критическая точка x=0 => (0;0)
y=x x∈[0;1]
y'=12x
Критических точек нет
Находим значение функции в получившихся точках:
zM1=z0;0=0
zM2=z1;1=1
Таким образом,
zmax=zM2=1
zmin=zM1=0