Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость на концах интервала сходимости

Применим признак Даламбера
un=n∙x-1n2n, un+1=(n+1)∙x-1n+12n+1
limn→∞un+1un=limn→∞(n+1)∙x-1n+1∙2n2n+1∙n∙x-1n=12x-1∙limn→∞n+1n=12x-1
12x-1<1
x-1<2
-2<x-1<2
-1<x<3
Исследуем на сходимость на концах интервала.
x=-1
i=1∞n∙-1-1n2n=i=1∞n∙-2n2n=i=1∞n∙-1n - знакопеременный ряд, исследуем его на сходимость по признаку Лейбница.
u1=1; u2=2, u3=3; …, un=n
u1<u2<u3<u4<…<un
limn→∞n=∞ ,
следовательно, ряд расходится.
x=3
i=1∞n∙3-1n2n=i=1∞n
Проверим необходимое условие ходимости limn→∞an=0
limn→∞n=∞
Необходимое условие сходимости не выполняется, следовательно, ряд i=1∞n расходится.
Ответ: (-1;3)- область сходимости