Найти частное решение дифференциального уравнения y''-4y'=6x2+1

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью. Его общее решение состоит из суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.
Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения
y''-4y'=0
Теперь, составим и решим соответствующее характеристическое уравнение
λ2-4λ=0
λ∙λ-4=0
λ1=0 и λ2=4
Корнями характеристического уравнения являются действительные числа имеющие кратность равную 1 . Следовательно, фундаментальную систему решений образуют функции eλ1x и eλ2x. Тогда общее решение линейного однородного уравнения имеет вид:
y=C1e0∙x+C2e4x
y=C1e0+C2e4x
y=C1+C2e4x
Теперь найдем частное решения уравнения y''-4y'=6x2+1.
Частное решение неоднородного уравнения найдем при помощи метода вариации произвольной постоянной. Считаем, что C1 и C2 – это функции от x.
Общим решением будет:
yx=C1x+C2x∙e4x
Функции C1x и C2x согласно методу вариации постоянных определим из системы:
C1'x+C2'x∙e4x=0C2'x∙4e4x=6x2+1
Решая эту систему, получаем:
C1'x=-6x2+14C2'x=6x2+14∙e-4x
Восстановим функции интегрированием
C1x=-6x2+14dx=-32x2dx-14dx=-x32-x4+C3
C2x=6x2+14∙e-4xdx=32x2∙e-4xdx+14e-4xdx=
=-24x2+12x+364∙e-4x-116∙e-4x+C4=
=-38x2∙e-4x-316x∙e-4x-764∙e-4x+C4=-38x2-316x-764∙e-4x+C4
Подставляем, найденные C1x и C2x, в yx=C1x+C2x∙e4x.
Получаем окончательный ответ:
yx=C1x+C2x∙e4x
yx=-x32-x4+C1+-38x2-316x-764∙e-4x+C2∙e4x
yx=-12x3-14x+C1-38x2-316x-764+C2∙e4x
yx=C1+C2∙e4x-12x3-38x2-716x-764
Теперь найдем решение, соответствующее заданным начальным условиям y0=2, y'0=3.
Продифференцируем общее решение исходного уравнения
y=C1+C2∙e4x-12x3-38x2-716x-764
y'=C2∙4e4x-32x2-34x-716
Подставив начальные условия, получаем систему
y0=2y'0=3
C1+C2∙e4∙0-12∙03-38∙02-716∙0-764=2C2∙4e4∙0-32∙02-34∙0-716=3
C1+C2-764=24C2-716=3C1+C2=2+7644C2=3+716C1+C2=135644C2=5516C1=8064=54C2=5564
В итоге получаем
y=5564e4x-12x3-38x2-716x+7364