Найти 1) прbAB 2) площадь треугольника со сторонами

1) Проекция вектора AB на направление вектора b равна скалярному произведению этих векторов, деленному на длину вектора b:
прbAB=AB,bb.
Найдем координаты вектора AB:
AB=xB-xA;yB-yA;zB-zA,
AB=-2;1;-1.
Длина вектора b:
b=12+02+12=2.
Тогда:
прbAB=-2∙1+1∙0-1∙(-1)2=-12=-22≈-0,707.
2) Координаты вектора a:
a=2;-1;-3.
Площадь треугольника, построенного на векторах a и b:
S=12a×b.
Найдем векторное произведение векторов a и b:
a×b=ijk2-1-310-1=i-1-30-1-j2-31-1+k2-110=1;-1;1.
a×b=12+-12+12=3.
Тогда площадь треугольника, построенного на векторах a и b равна:
S=32≈0,866.
3) Найдем смешанное произведение векторов b, a и AB:
b∙a∙AB=10-12-1-3-21-1=1-1-31-1-12-1-21=4.
4) Найдем λ, при котором векторы AB и a+λb ортогональны.
Два вектора AB и a+λb ортогональны (перпендикулярны), если их скалярное произведение равно нулю:
AB∙a+λb=0.
Найдем a+λb:
2;-1;-3+λ1;0;-1=2+λ;-1;-3-λ.
Далее:
-2∙2+λ+1∙-1-1∙-3-λ=-4-2λ-1+3+λ=0,
λ=-2.
Ответ: 1) -22≈-0,707; 2) 32≈0,866; 3) 4; 4) -2.