Найдите решение задач a) dydx+3y=0 y0=1

A) dydx+3y=0
Данное дифференциальное уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.
dydx=-3y
Умножим обе части уравнения на dxy
dydx∙dxy=-3y∙dxy
dyy=-3dx
Проинтегрируем это уравнение, получим
dyy=-3dx
lny=-3x+C1
y=e-3x+C1
y=eC1∙e-3x
y=Ce-3x- общее решение
Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию
1=Ce-3∙0=>C=1
y=e-3x- частное решение
b) y''+16y=0, y0=1;y'1= sin(4)
Составим и решим характеристическое уравнение
k2+16=0;k2=-16;k1,2=±4i
Получены чисто мнимые сопряженные комплексные корни, поэтому общее решение
y=C1cosβx+C2sinβx
y=C1cos4x+C2sin4x
Найдем частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям
1=C1cos0+C2sin0=C1∙1+C2∙0=>C1=1
y'=C1cos4x+C2sin4x'=-4C1sin4x+4C2cos4x
y'1=-4C1sin4+4C2cos4=sin4
Составим и решим систему
C1=1-4C1sin⁡(4)+4C2cos⁡(4)=sin4=>C1=1-4sin⁡(4)+4C2cos⁡(4)=sin4=>
=>C1=14C2cos⁡(4)=5sin4=>C1=1C2=5sin44cos⁡(4)==>C1=1C2=54tg(4)
y=cos4x+54tg4sin4x-частное решение
Ответ: a) y=e-3x;b) y=cos4x+54tg4sin4x