На основании исходных данных для соответствующего варианта. Определить параметры уравнения линейной множественной регрессии по методу наименьших квадратов

В нашем случае зависимость товарооборота за месяц характеризуется следующим уравнением
Параметры уравнения множественной регрессии оцениваются методом наименьших квадратов. Система нормальных уравнений имеет вид:
Для того чтобы получить систему нормальных уравнеий, составим таблицу 1.
Таблица 1 – Исходные и расчетные данные для примера построения множественной регрессии
№
288,7 8,7 30,9 2511,69 8920,83 268,83 75,69 954,81 83347,7
314,4 10,1 32,2 3175,44 10123,68 325,22 102,01 1036,84 98847,4
334,7 11,2 39,1 3748,64 13086,77 437,92 125,44 1528,81 112024
352,2 16,1 36,9 5670,42 12996,18 594,09 259,21 1361,61 124045
387,5 16,9 42,8 6548,75 16585 723,32 285,61 1831,84 150156
404,7 17,7 40,6 7163,19 16430,82 718,62 313,29 1648,36 163782
446,9 19,2 83,8 8580,48 37450,22 1608,96 368,64 7022,44 199720
481,5 30,2 58,6 14541,3 28215,9 1769,72 912,04 3433,96 231842
515,3 27,5 87,2 14170,75 44934,16 2398 756,25 7603,84 265534
527,7 29,4 90 15514,38 47493 2646 864,36 8100 278467
537,6 30,7 98 16504,32 52684,8 3008,6 942,49 9604 289014
558,7 34,5 109,8 19275,15 61345,26 3788,1 1190,25 12056 312146
595,2 37,4 118,4 22260,48 70471,68 4428,16 1398,76 14018,6 354263
606,1 40,9 107,8 24789,49 65337,58 4409,02 1672,81 11620,8 367357
634,4 42,3 119,3 26835,12 75683,92 5046,39 1789,29 14232,5 402463
649,2 50,6 116,8 32849,52 75826,56 5910,08 2560,36 13642,2 421461
704,6 47,1 136,1 33186,66 95896,06 6410,31 2218,41 18523,2 496461
732,3 54,2 110,3 39690,66 80772,69 5978,26 2937,64 12166,1 536263
801,7 60,9 156,4 48823,53 125385,88 9524,76 3708,81 24461 642723
826,5 75,1 174 62070,15 143811 13067,4 5640,01 30276 683102
сумма 10699,9 660,7 1789 407910,12 1083451,99 73061,8 28121,4 195123 6213019
ср.знач. 534,995 33,035 89,45 20395,506 54172,5995 3653,09 1406,07 9756,15 310651
Итак, система нормальных уравнений имеет вид:
Решим эту систему методом Крамера. Вычисляем определитель системы.
Аналогично вычисляем вспомогательные определители, заменяя соответствующий столбец столбцом свободных членов.
Коэффициенты уравнения определяются по формулам:
Таким образом, получили следующее уравнение множественнойрегрессии:
Уравнение регрессии показывает, что при увеличении площади торгового зала на 1 кв. м. (при неизменных затратах на рекламу) товарооборот за месяц увеличивается в среднем на 5,638 тыс. руб., а при увеличении затрат на рекламу на 1 тыс. руб. (при неизменной площади торгового зала) товарооборот за месяц увеличивается в среднем на 1,357 тыс. руб.
Определим парные коэффициенты корреляции ryxi и rx1x2:
При этом воспользуемся следующими формулами:

В нашем случае

Для расчета σх1, σх2 и σу, составим вспомогательную таблицу 2.
Таблица 2 – Вспомогательная таблицы для расчетов σх1, σх2 и σу
№
288,7 8,7 30,9 592,192 3428,103 60661,227
314,4 10,1 32,2 526,014 3277,563 48662,154
334,7 11,2 39,1 476,767 2535,123 40118,087
352,2 16,1 36,9 286,794 2761,503 33414,012
387,5 16,9 42,8 260,338 2176,223 21754,775
404,7 17,7 40,6 235,162 2386,323 16976,787
446,9 19,2 83,8 191,407 31,9225 7760,72903
481,5 30,2 58,6 8,03723 951,7225 2861,71503
515,3 27,5 87,2 30,6362 5,0625 387,893025
527,7 29,4 90 13,2132 0,3025 53,217025
537,6 30,7 98 5,45223 73,1025 6,786025
558,7 34,5 109,8 2,14622 414,1225 561,927025
595,2 37,4 118,4 19,0532 838,1025 3624,64203
606,1 40,9 107,8 61,8582 336,7225 5055,92103
634,4 42,3 119,3 85,8402 891,0225 9881,35403
649,2 50,6 116,8 308,529 748,0225 13042,782
704,6 47,1 136,1 197,824 2176,223 28765,856
732,3 54,2 110,3 447,957 434,7225 38929,263
801,7 60,9 156,4 776,458 4482,303 71131,557
826,5 75,1 174 1769,46 7148,703 84975,165
сумма 10699,9 660,7 1789 6295,146 35096,890 488625,850
ср.знач . 534,995 33,035 89,45 314,757 1754,845 24431,2925
Теперь определим парные коэффициенты корреляции
Подставим в уравнение регрессии значения х1 и х2 получим теоретические значения yi, т.е. ŷ, а так же ε = yi – ŷ и ε2. (табл. 3)
Таблица 2 – Вспомогательная таблицы для расчетов σх1, σх2 и σу
№
288,7 8,7 30,9 318,341 -29,641 878,564 60661,227
314,4 10,1 32,2 327,998 -13,598 184,900 48662,154
334,7 11,2 39,1 343,563 -8,863 78,558 40118,087
352,2 16,1 36,9 368,203 -16,003 256,106 33414,012
387,5 16,9 42,8 380,720 6,780 45,964 21754,775
404,7 17,7 40,6 382,245 22,455 504,222 16976,787
446,9 19,2 83,8 449,327 -2,427 5,893 7760,72903
481,5 30,2 58,6 477,146 4,354 18,958 2861,71503
515,3 27,5 87,2 500,736 14,564 212,113 387,893025
527,7 29,4 90 515,248 12,452 155,060 53,217025
537,6 30,7 98 533,434 4,166 17,360 6,786025
558,7 34,5 109,8 570,871 -12,171 148,131 561,927025
595,2 37,4 118,4 598,892 -3,692 13,628 3624,64203
606,1 40,9 107,8 604,239 1,861 3,463 5055,92103
634,4 42,3 119,3 627,739 6,661 44,374 9881,35403
649,2 50,6 116,8 671,140 -21,940 481,377 13042,782
704,6 47,1 136,1 677,599 27,001 729,042 28765,856
732,3 54,2 110,3 682,616 49,684 2468,529 38929,263
801,7 60,9 156,4 782,951 18,749 351,542 71131,557
826,5 75,1 174 886,893 -60,393 3647,307 84975,165
сумма 10699,9 660,7 1789 10699,900 0,000 10245,089 488625,850
ср.знач. 534,995 33,035 89,45
Для вычисления индекса множественной корреляции воспользуемся следующей формулой:
Коэффициент множественной корреляции указывает на весьмасильную связь всего набора факторов с результатом.
В нашем случае индекс множественной корреляции составит:
Тогда
Коэффициент множественной детерминации оценивает долю дисперсии результата за счет представленных в уравнении факторов в общей вариации результата. Здесь эта доля составляет 98,9% и указывает на весьма высокую степень обусловленности вариации результата вариацией факторов, иными словами – на весьма тесную связь факторов с результатом.
Значимость уравнения регрессии в целом ипоказателя тесноты связи дает критерий Фишера:
В нашем случае фактическое значение критерия Фишера:
Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости и степенях свободы и составляет . Так как , уравнение регрессии и коэффициент корреляции признается статистически значимым.
Коэффициенты и , стандартизованного уравнения регрессии находятся по формуле:
Т.е. уравнение будет выглядеть следующим образом:
.
Так как стандартизованные коэффициенты регрессии можносравнивать между собой, то можно сказать, что площадь торгового зала оказывает большее влияние на товарооборот за месяц,чем затраты на рекламу.
Рассчитать индексы множественной корреляции и детерминации для линейной уравнения регрессии в стандартизированном масштабе.

и
Следовательно, включение обеих факторов в уравнение множественной регрессии является обоснованным.
Гомоскедатичность остатков означает, что дисперсия каждого отклонения одинакова для всех х