На телефонной станции организовано наблюдение за процессом поступления сообщений. Весь период наблюдения (25 часов), на протяжении которого поток является практически стационарным, разделён на EQ n = 100 интервалов длительностью EQ t = 15 мин. И для каждого интервала определяется число поступающих сообщений. Данные наблюдения группируются в статистический ряд по EQ m членов, характеризующихся числом интервалов EQ nk EQ (k = 1, 2, …, m) с одинаковым числом вызовов EQ ck в интервале (таблица 1).
Таблица 1 – Исходные данные
№ п/п 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 EQ n = \O\ac(k;∑)nk
EQ ck 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 –
EQ nk 5 15 22 23 17 11 5 1 1 0 100
Требуется:
Оценить следующие характеристики процесса поступления сообщений.
1.Рассчитать эмпирические вероятности EQ \O\ac(P;¯)k распределения числа вызовов на интервале длительностью EQ t = 15 мин.
2.Рассчитать среднее статистическое значение числа вызовов EQ \O\ac(c;¯) в интервале EQ t = 15 мин.
3.Рассчитать вероятности распределения Пуассона EQ Pk на интервале EQ t = 15 мин.
4.Рассчитать число степеней свободы EQ r и меру расхождения EQ χ2 между теоретической вероятностью EQ Pk и эмпирической EQ \O\ac(P;¯)k.
5.Определить соответствие эмпирического распределения числа сообщений в интервале EQ t = 15 мин распределению Пуассона.
Решение
Рассчитаем эмпирические вероятности EQ \O\ac(P;¯)k распределения числа вызовов на заданном интервале по формуле:
EQ \A\al\co2\hs20(\O\ac(P;¯)k = \F(nk;n),;k = 1, 2, …, m)[ 1 ]
Результаты расчётов эмпирических вероятностей приведены в таблице 2.
Таблица 2 – Результаты расчётов эмпирических вероятностей
№ п/п 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Сумма
EQ ck 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 –
EQ nk 5 15 22 23 17 11 5 1 1 0 100
EQ \O\ac(P;¯)k 0,05 0,15 0,22 0,23 0,17 0,11 0,05 0,01 0,01 0 1
Рассчитаем среднее статистическое значение числа вызовов EQ \O\ac(c;¯) в заданном интервале:
EQ \O\ac(c;¯) = \F(\O\ac(m;k=1;∑) ck∙nk;n)
EQ \O\ac(c;¯) = \F(0∙5 + 1∙15 + 2∙22 + 3∙23 + 4∙17 + 5∙11 + 6∙5 + 7∙1 + 8∙1+9∙0;100) = 2,96
Рассчитаем вероятности распределения Пуассона EQ Pk на заданном интервале по формуле:
EQ \A\al\co2\hs20(Pk = \F(ck;k!) ∙ e−c,;k = 0, 1, …, m−1)
Результаты расчётов вероятностей распределения Пуассона приведены в таблице 3.
Таблица 3 – Результаты расчётов вероятностей распределения Пуассона
№ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Сумма
EQ Pk 0,0518 0,1534 0,227 0,224 0,1657 0,098 0,0484 0,0205 0,0076 0,0025 1
Рассчитаем меру расхождения EQ χ2 между теоретической вероятностью EQ Pk и эмпирической EQ \O\ac(P;¯)k по формуле:
EQ χ2 = n ∙\O\ac(m;k=1;∑)\F(\B(\O\ac(P;¯)k − Pk)2;Pk)
Таблица 4 – Расчёт меры расхождения EQ χ2
№ п/п 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
EQ \O\ac(P;¯)k 0,05 0,15 0,22 0,23 0,17 0,11 0,05 0,01 0,01 0
EQ Pk 0,0518 0,1534 0,23 0,224 0,1657 0,098 0,0484 0,0205 0,0076 0,0025
EQ \F(\B(\O\ac(P;¯)k−Pk)2;Pk),10−4 0,64 0,75 2,16 1,62 1,09 14,38 0,52 53,55 7,77 24,91
EQ χ2=
Рассчитать число степеней свободы EQ r по формуле:
EQ r = m − s
где EQ s –число независимых условий, налагаемых на вероятности EQ \O\ac(P;¯)k, и определению вероятности EQ P того, что величина, имеющая распределение EQ χ2 с EQ r степенями свободы, превзойдёт данное значение EQ χ2
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
