Моделирование и идентификация динамических систем

А. Непрерывное время
1. Записываем передаточную функцию:
Wp=4p+5p2+2p+3
И соответствующее дифференциальное уравнение:
d2ytdt2+2dytdt+3yt=4dutdt+5ut
Переходим к дискретному представлению:
- t→tk=k-1∆t, где tk - дискретный момент времени, k – номер дискретного момента времени, ∆t - шаг по времени (период дискретизации);
- ut→uk,yt→yk;
- dytdt→yk+1-yk∆t,dutdt→uk+1-uk∆t;
- d2ytdt2→yk+2-2yk+1+yk∆t2
Подставляя в дифференциальное уравнение:
yk+2-2yk+1+yk∆t2+2yk+1-yk∆t+3yk=4uk+1-uk∆t+5uk
Приводим подобные:
1∆t2yk+2+2∆t-2∆t2yk+1+3-2∆t+1∆t2yk=4∆tuk+1+5-4∆tuk
Выражая yk+2, получаем регрессионное уравнение для моделирования:
yk+2=2-2∆tyk+1+-1+2∆t-3∆t2yk+4∆tuk+1+5∆t2-4∆tuk
Задаем начальные условия y1=y2=0 и с учетом того, что ∆t=0,2 окончательно получаем:
yk+2=1,6yk+1-0,72yk+0,8uk+1-0,6uk
Т.е., для первых моментов времени:
y3=1,6y2-0,72y1+0,8u2-0,6u1=0
y4=1,6y3-0,72y2+0,8u3-0,6u2=0
y5=1,6y4-0,72y3+0,8u4-0,6u3=0
y6=1,6y5-0,72y4+0,8u5-0,6u4=0
y7=1,6y6-0,72y5+0,8u6-0,6u5=0
y8=1,6y7-0,72y6+0,8u7-0,6u6=-0,8
И т.д .
Представляем результаты расчетов на отрезке 0;10 графически, на одном рисунке с u*:
2. Составим схему МНК-идентификации неизвестных параметров a2,b1.
Переписываем дифференциальное уравнение с неизвестными параметрами:
a2d2ytdt2+2dytdt+3yt=b1dutdt+5ut
Приводим в дискретный вид и переносим неизвестные в правую часть:
2∆yk∆t+3yk-5uk=-a2∆2yk∆t2+b1∆uk∆t
где:
∆yk∆t→yk+1-yk∆t
∆uk∆t→uk+1-uk∆t
∆2yk∆t2→yk+2-2yk+1+yk∆t2
Для расчета дискретной производной 2-го порядка нам потребуется значения функций с запаздыванием на 2 шага. Соответственно выборка данных сократится на 2 шага, и мы будем рассматривать временной диапазон значений k∈0;km-2
Левую часть обозначаем как:
gk=2∆yk∆t+3yk-5uk
Правую же часть записываем как:
-a2∆2yk∆t2+b1∆uk∆t=c1v1k+c2v2k
где c1=a2,c2=b1 – искомые параметры, v1k=-∆2yk∆t2,v2k=∆uk∆t.
Т.е