Минутная стрелка электрических часов перемещается скачком в конце каждой минуты

Ответ

а) 0,25; б) 0,585. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Вариант – 5 15 9 13 16 14 16 17 12 14 17 10 16 18 13 10 14 12 16 14 18 11 13 9 15 13 15 16 15 12 13 11 14 14 14 15 14 10 13 15 14 15 14 11 14 12 11 14 13 13 12 13 12 15 11 14 14 13 16 10 13 12 16 13 16 9 14 1 1 15 11 15 14 12 16 13 16 9 15 12 15 11 14 13 12 16 1 1 13 13 16 13 11 13 15 14 12 16 13 14 18 16 14 1. Сгруппировать статистический материал – означает разбить интервал наблюдаемых значений случайной величины Х на k частичных интервалов равной длины и подсчитать частоты попадания наблюденных значений случайной величины Х в частичные интервалы. Количество интервалов выбирается произвольно. В данном случае разобьем весь диапазон наблюденных значений на 6 интервалов. Объем выборки n = 100. Минимальное значение хmin = 9 Максимальное значение хmах = 18, размах R = = 18 – 9 = 9. Длина интервала . За начало первого интервала примем 8,15. Следим за тем, чтобы максимальное значение выборки попало в последний интервал, при необходимости корректируем длину интервала. При таком подборе длины и числа интервалов серединой первого интервала будет минимальное значение хmin = 9, но максимальное значение хmах = 18 не попадает в последний интервал (12,75; 17,25), поэтому увеличиваем ширину интервала до 1,7. Запишем последовательность интервалов: Номер интервала i Границы интервала нижняя верхняя 1 8,15 9,85 2 9,85 11,55 3 11,55 13,25 4 13,25 14,95 5 14,95 16,65 6 16,65 18,35 Подсчитаем середины интервалов одновременно с соответствующими частотами, частостями (относительными частотами), значениями , и накопленными относительными частотами F*(x). Полученные результаты сведем в таблицу 1.   Таблица 1. Номер интервала i Границы интервала Середина интервала, сi Частота nі Частости F*(x) нижняя верхняя 1 2 3 4 5 6 7 8 1 8,15 9,85 9 4 0,04 0,02 0,04 2 9,85 11,55 10,7 14 0,14 0,08 0,18 3 11,55 13,25 12,4 30 0,3 0,18 0,48 4 13,25 14,95 14,1 20 0,2 0,12 0,68 5 14,95 16,65 15,8 27 0,27 0,16 0,95 6 16,65 18,35 17,5 5 0,05 0,03 1,00 В результате получен статистический ряд распределения частот и частостей (относительных частот). 2. Для построения гистограммы частостей на оси ОХ откладываем частичные интервалы, на каждом из них строим прямоугольники с площадью, равной частости, соответствующей данному интервалу, т.е. с высотой, равной (столбец 7). Если частости отнести к серединам частичных интервалов и соединить построенные точки отрезками прямых, то полученная ломаная линия будет полигоном частостей: 3. Эмпирическую функцию распределения запишем в аналитическом виде, она определяется по значению накопленных относительных частот и содержится в последнем столбце таблицы 1. 6546852476500 0 , если x  (-∞; 9,85] 0,04 , если x  (9,85;11,55] 0,18 , если x  (11,55;13,25] F*(x) = 0,48 , если x  (13,25;14,95] 0,68 , если x  (14,95;16,65] 0,95 , если x  (16,65;18,35] 1,00 , если x  (18,35; +∞] Построим график эмпирической функции распределения, она будет разрывной, так как результаты наблюдений дискретны: 4. Выборочную среднюю находим по формуле , где - середина частичного интервала; Выборочную дисперсию ищем как центральный момент порядка 2 по формуле: Тогда выборочное среднее квадратическое отклонение будет Проведем вычисления. Для удобства вычислений составляем расчетную таблицу: номер интервала середина интервала сi частота ni ni сi 1 9 4 36 82,410 2 10,7 14 149,8 112,839 3 12,4 30 372 38,920 4 14,1 20 282 6,294 5 15,8 27 426,6 138,027 6 17,5 5 87,5 78,448 Сумма 100 1353,9 456,938 среднее 13,54 4,57 5. Вид гистограммы и полигона относительных частот напоминает кривую Гаусса (нормальную кривую), поэтому делаем предварительный выбор закона распределения – нормальный. 6. Плотность вероятности нормального закона распределения имеет вид: . По методу моментов точечной оценкой параметра является , т.е. 2,14. Точечной оценкой параметра а будет , т.е. 13,54, поэтому плотность вероятности предполагаемого закона распределения примет вид: Функцией распределения предполагаемого нормального закона является: , в нашем случае это или, с использованием нормированной функции Лаплпса 7. Проверим нулевую гипотезу о нормальном законе распределении случайной величины Х по критерию согласия Пирсона . Для этого: 1) пронормируем частичные интервалы, т.е. пересчитаем их границы по формуле , при этом наименьшее значение полагают равным (-∞), а наибольшее (+∞). 2) вычислим вероятности попадания случайной величины Х, распределенной по нормальному закону с параметрами 13,54 и 2,14 в полученные частичные интервалы по формуле: , Значения берем из таблицы значений функции . 3) вычислим теоретические частоты  = нормального закона распределения. 4) Вычислим наблюдаемое значение критерия по формуле . 5) По уровню значимости α = 1 – γ = 1 – 0,95 = 0,05 и числу степеней свободы ν = k–r–1 = 6–2–1=3 (k = 6 – число интервалов, r = 2 – число параметров нормального распределения а и σ) с помощью таблицы критических точек распределения находим критическое значение . Если , то нет оснований для отклонения гипотезы о распределении случайной величины Х по нормальному закону. Расчеты проведем в таблице: xi xi+1 ni ui ui+1 Ф(ui) Ф(ui+1) pi npi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 - ∞ 9,85 4 - ∞ -1,73 -0,5 -0,4582 0,0418 4,2 0,008 9,85 11,55 14 -1,73 -0,93 -0,4582 -0,3238 0,1344 13,4 0,024 11,55 13,25 30 -0,93 -0,14 -0,3238 -0,0557 0,2681 26,8 0,378 13,25 14,95 20 -0,14 0,66 -0,0557 0,2454 0,3010 30,1 3,391 14,95 16,65 27 0,66 1,46 0,2454 0,4279 0,1825 18,2 4,197 16,65 + ∞ 5 1,46 + ∞ 0,4279 0,5 0,0721 7,2 0,680 Сумма 100 1 100 8,678 Складывая вычисленные значения в десятом столбце, получаем наблюдаемое значение 8,678. По таблице критических значений распределения 2 в зависимости от уровня значимости 0,05 и числа степеней свободы r 63 3 находим = 7,8. Так как , то нулевая гипотеза не принимается. Следовательно, по данной выборке нельзя принять нормальный закон для генеральной совокупности. 8. Доверительным интервалом для математического ожидания а является интервал , где , а значение t находят по таблице значений по заданной надежности γ = 1– α = 1 – 0,05 = 0,95 и числу измерений n = 100. Но в данном случае как нормальный закон не подтвержден, поэтому интервальные оценки мы найти не можем.