Минутная стрелка электрических часов перемещается скачком в конце каждой минуты. Случайная величина X – разница между временем, показываемым на табло и истинным временем имеет равномерное распределение. Найти вероятность того, что в некоторый момент времени часы укажут время, которое отличается от истинного: а) не менее, чем на 10 с и не более, чем на 25 с; б) не менее, чем на 25 с.
Ответ
а) 0,25; б) 0,585.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Вариант – 5
15 9 13 16 14 16 17 12 14 17
10 16 18 13 10 14 12 16 14 18
11 13 9 15 13 15 16 15 12 13
11 14 14 14 15 14 10 13 15 14
15 14 11 14 12 11 14 13 13 12
13 12 15 11 14 14 13 16 10 13
12 16 13 16 9 14 1 1 15 11 15
14 12 16 13 16 9 15 12 15 11
14 13 12 16 1 1 13 13 16 13 11
13 15 14 12 16 13 14 18 16 14
1. Сгруппировать статистический материал – означает разбить интервал наблюдаемых значений случайной величины Х на k частичных интервалов равной длины и подсчитать частоты попадания наблюденных значений случайной величины Х в частичные интервалы. Количество интервалов выбирается произвольно. В данном случае разобьем весь диапазон наблюденных значений на 6 интервалов.
Объем выборки n = 100.
Минимальное значение хmin = 9
Максимальное значение хmах = 18, размах R = = 18 – 9 = 9.
Длина интервала .
За начало первого интервала примем
8,15. Следим за тем, чтобы максимальное значение выборки попало в последний интервал, при необходимости корректируем длину интервала.
При таком подборе длины и числа интервалов серединой первого интервала будет минимальное значение хmin = 9, но максимальное значение хmах = 18 не попадает в последний интервал (12,75; 17,25), поэтому увеличиваем ширину интервала до 1,7.
Запишем последовательность интервалов:
Номер
интервала
i Границы
интервала
нижняя верхняя
1 8,15 9,85
2 9,85 11,55
3 11,55 13,25
4 13,25 14,95
5 14,95 16,65
6 16,65 18,35
Подсчитаем середины интервалов одновременно с соответствующими частотами, частостями (относительными частотами), значениями , и накопленными относительными частотами F*(x).
Полученные результаты сведем в таблицу 1.
Таблица 1.
Номер
интервала
i Границы
интервала Середина
интервала,
сi Частота
nі Частости
F*(x)
нижняя верхняя
1 2 3 4 5 6 7 8
1 8,15 9,85 9 4 0,04 0,02 0,04
2 9,85 11,55 10,7 14 0,14 0,08 0,18
3 11,55 13,25 12,4 30 0,3 0,18 0,48
4 13,25 14,95 14,1 20 0,2 0,12 0,68
5 14,95 16,65 15,8 27 0,27 0,16 0,95
6 16,65 18,35 17,5 5 0,05 0,03 1,00
В результате получен статистический ряд распределения частот и частостей (относительных частот).
2. Для построения гистограммы частостей на оси ОХ откладываем частичные интервалы, на каждом из них строим прямоугольники с площадью, равной частости, соответствующей данному интервалу, т.е. с высотой, равной (столбец 7).
Если частости отнести к серединам частичных интервалов и соединить построенные точки отрезками прямых, то полученная ломаная линия будет полигоном частостей:
3. Эмпирическую функцию распределения запишем в аналитическом виде, она определяется по значению накопленных относительных частот и содержится в последнем столбце таблицы 1.
6546852476500 0 , если x (-∞; 9,85]
0,04 , если x (9,85;11,55]
0,18 , если x (11,55;13,25]
F*(x) = 0,48 , если x (13,25;14,95]
0,68 , если x (14,95;16,65]
0,95 , если x (16,65;18,35]
1,00 , если x (18,35; +∞]
Построим график эмпирической функции распределения, она будет разрывной, так как результаты наблюдений дискретны:
4. Выборочную среднюю находим по формуле
,
где - середина частичного интервала;
Выборочную дисперсию ищем как центральный момент порядка 2 по формуле:
Тогда выборочное среднее квадратическое отклонение будет
Проведем вычисления. Для удобства вычислений составляем расчетную таблицу:
номер интервала середина
интервала
сi частота
ni
ni сi
1 9 4 36 82,410
2 10,7 14 149,8 112,839
3 12,4 30 372 38,920
4 14,1 20 282 6,294
5 15,8 27 426,6 138,027
6 17,5 5 87,5 78,448
Сумма
100 1353,9 456,938
среднее
13,54 4,57
5. Вид гистограммы и полигона относительных частот напоминает кривую Гаусса (нормальную кривую), поэтому делаем предварительный выбор закона распределения – нормальный.
6. Плотность вероятности нормального закона распределения имеет вид:
.
По методу моментов точечной оценкой параметра является , т.е.
2,14.
Точечной оценкой параметра а будет , т.е.
13,54,
поэтому плотность вероятности предполагаемого закона распределения примет вид:
Функцией распределения предполагаемого нормального закона является:
,
в нашем случае это
или, с использованием нормированной функции Лаплпса
7. Проверим нулевую гипотезу о нормальном законе распределении случайной величины Х по критерию согласия Пирсона .
Для этого:
1) пронормируем частичные интервалы, т.е. пересчитаем их границы по формуле , при этом наименьшее значение полагают равным (-∞), а наибольшее (+∞).
2) вычислим вероятности попадания случайной величины Х, распределенной по нормальному закону с параметрами 13,54 и 2,14 в полученные частичные интервалы по формуле: ,
Значения берем из таблицы значений функции .
3) вычислим теоретические частоты = нормального закона распределения.
4) Вычислим наблюдаемое значение критерия по формуле .
5) По уровню значимости α = 1 – γ = 1 – 0,95 = 0,05 и числу степеней свободы ν = k–r–1 = 6–2–1=3 (k = 6 – число интервалов, r = 2 – число параметров нормального распределения а и σ) с помощью таблицы критических точек распределения находим критическое значение .
Если , то нет оснований для отклонения гипотезы о распределении случайной величины Х по нормальному закону.
Расчеты проведем в таблице:
xi xi+1 ni ui ui+1 Ф(ui) Ф(ui+1) pi npi
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
- ∞ 9,85 4 - ∞ -1,73 -0,5 -0,4582 0,0418 4,2 0,008
9,85 11,55 14 -1,73 -0,93 -0,4582 -0,3238 0,1344 13,4 0,024
11,55 13,25 30 -0,93 -0,14 -0,3238 -0,0557 0,2681 26,8 0,378
13,25 14,95 20 -0,14 0,66 -0,0557 0,2454 0,3010 30,1 3,391
14,95 16,65 27 0,66 1,46 0,2454 0,4279 0,1825 18,2 4,197
16,65 + ∞ 5 1,46 + ∞ 0,4279 0,5 0,0721 7,2 0,680
Сумма
100
1 100 8,678
Складывая вычисленные значения в десятом столбце, получаем наблюдаемое значение
8,678.
По таблице критических значений распределения 2 в зависимости от уровня значимости 0,05 и числа степеней свободы r 63 3 находим = 7,8. Так как , то нулевая гипотеза не принимается. Следовательно, по данной выборке нельзя принять нормальный
закон для генеральной совокупности.
8. Доверительным интервалом для математического ожидания а является интервал , где , а значение t находят по таблице значений по заданной надежности γ = 1– α = 1 – 0,05 = 0,95 и числу измерений n = 100.
Но в данном случае как нормальный закон не подтвержден, поэтому интервальные оценки мы найти не можем.
Решение
Равномерно распределенная на отрезке [а;b] случайная величина Х имеет плотность .
У нас [а;b] = [0, 60]
Вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале (b,с) равна .
У нас = 1/60
а) найдем вероятность того, что в некоторый момент времени часы укажут время, которое отличается от истинного не менее, чем на 10 с и не более, чем на 25 с.
б) найдем вероятность того, что что в некоторый момент времени часы укажут время, которое отличается от истинного не менее, чем на 25 с:
Ответ: а) 0,25; б) 0,585.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Вариант – 5
15 9 13 16 14 16 17 12 14 17
10 16 18 13 10 14 12 16 14 18
11 13 9 15 13 15 16 15 12 13
11 14 14 14 15 14 10 13 15 14
15 14 11 14 12 11 14 13 13 12
13 12 15 11 14 14 13 16 10 13
12 16 13 16 9 14 1 1 15 11 15
14 12 16 13 16 9 15 12 15 11
14 13 12 16 1 1 13 13 16 13 11
13 15 14 12 16 13 14 18 16 14
1. Сгруппировать статистический материал – означает разбить интервал наблюдаемых значений случайной величины Х на k частичных интервалов равной длины и подсчитать частоты попадания наблюденных значений случайной величины Х в частичные интервалы. Количество интервалов выбирается произвольно. В данном случае разобьем весь диапазон наблюденных значений на 6 интервалов.
Объем выборки n = 100.
Минимальное значение хmin = 9
Максимальное значение хmах = 18, размах R = = 18 – 9 = 9.
Длина интервала .
За начало первого интервала примем
8,15. Следим за тем, чтобы максимальное значение выборки попало в последний интервал, при необходимости корректируем длину интервала.
При таком подборе длины и числа интервалов серединой первого интервала будет минимальное значение хmin = 9, но максимальное значение хmах = 18 не попадает в последний интервал (12,75; 17,25), поэтому увеличиваем ширину интервала до 1,7.
Запишем последовательность интервалов:
Номер
интервала
i Границы
интервала
нижняя верхняя
1 8,15 9,85
2 9,85 11,55
3 11,55 13,25
4 13,25 14,95
5 14,95 16,65
6 16,65 18,35
Подсчитаем середины интервалов одновременно с соответствующими частотами, частостями (относительными частотами), значениями , и накопленными относительными частотами F*(x)
.
Полученные результаты сведем в таблицу 1.
Таблица 1.
Номер
интервала
i Границы
интервала Середина
интервала,
сi Частота
nі Частости
F*(x)
нижняя верхняя
1 2 3 4 5 6 7 8
1 8,15 9,85 9 4 0,04 0,02 0,04
2 9,85 11,55 10,7 14 0,14 0,08 0,18
3 11,55 13,25 12,4 30 0,3 0,18 0,48
4 13,25 14,95 14,1 20 0,2 0,12 0,68
5 14,95 16,65 15,8 27 0,27 0,16 0,95
6 16,65 18,35 17,5 5 0,05 0,03 1,00
В результате получен статистический ряд распределения частот и частостей (относительных частот).
2. Для построения гистограммы частостей на оси ОХ откладываем частичные интервалы, на каждом из них строим прямоугольники с площадью, равной частости, соответствующей данному интервалу, т.е. с высотой, равной (столбец 7).
Если частости отнести к серединам частичных интервалов и соединить построенные точки отрезками прямых, то полученная ломаная линия будет полигоном частостей:
3. Эмпирическую функцию распределения запишем в аналитическом виде, она определяется по значению накопленных относительных частот и содержится в последнем столбце таблицы 1.
6546852476500 0 , если x (-∞; 9,85]
0,04 , если x (9,85;11,55]
0,18 , если x (11,55;13,25]
F*(x) = 0,48 , если x (13,25;14,95]
0,68 , если x (14,95;16,65]
0,95 , если x (16,65;18,35]
1,00 , если x (18,35; +∞]
Построим график эмпирической функции распределения, она будет разрывной, так как результаты наблюдений дискретны:
4
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
