В ящике находится 20 гвоздей 22 шурупа и 23 болтов

Используем классическое определение вероятности:
P=mn,
m- число благоприятных исходов;
n- общее число возможных исходов.
Здесь n- число вариантов выбора двух деталей из 65:
n=C652=65!65-2!∙2!=2080;
а) m- число вариантов выбора двух шурупов из 22:
m=C222=22!22-2!∙2!=231;
Тогда вероятность того, что среди случайным образом выбранных двух деталей будет два шурупа:
P1=2312080=0,11106;
б) m- число вариантов выбора одного гвоздя из 20, и одного болта из 23:
m=C201∙C231=20!20-1!∙1!∙23!23-1!∙1!=20∙23=460;
Тогда вероятность того, что среди случайным образом выбранных двух деталей будут гвоздь и болт:
P2=4602080=0,222115;
Здесь n- число вариантов выбора трех деталей из 65:
n=C653=65!65-3!∙3!=43008;
а) m- число вариантов выбора трех болтов из 23:
m=C233=23!23-3!∙3!=1771;
Тогда вероятность того, что среди случайным образом выбранных трех деталей будет три болта:
P3=177143008=0,04118;
б) m- число вариантов выбора одного гвоздя из 20, одного шурупа из 22 и одного болта из 23:
m=C201∙C221∙C231=20!20-1!∙1!∙22!22-1!∙1!∙23!23-1!∙1!=
=20∙22∙23=10120;
Тогда вероятность того, что среди случайным образом выбранных трех деталей будут гвоздь, шуруп и болт:
P4=1012043008=0,235305.