Методом Фурье найти решение волнового уравнения волнового уравнения

Применим метод Фурье разделения переменных. Будем искать нетривиальное решение задачи в виде произведения
ux,t=Xx∙Tt.
Подставим предполагаемую форму решения в исходное уравнение (1)
Xx∙T''(t)=X''(x)∙T(t)
Разделим равенство на Xx∙T(t)
T''(t)T(t)=X''xXx=-λ=const,
т.к. левая часть равенства зависит только от t, а правая – только от x.
В результате переменные разделяются, и получается два обыкновенных дифференциальных линейных уравнения
T''t+λTt=0,
X''(x)+λXx=0.
Подставляя ux,t в виде Xx∙Tt в граничные условия (2), получим
u0,t=X0⋅Tt=0, u7,t=X7⋅Tt=0.
Поскольку равенства должны выполняться тождественно, то
X0=0, X7=0.
Таким образом, для функции X(x) получили задачу Штурма-Лиувилля
X''(x)+λXx=0X0=0, X7=0
Общее решение имеет вид
Xx=C1cosλx+C2 sinλx.
Неизвестные коэффициенты C1, C2 найдем из граничных условий
X0=C1=0 X7=C2 sin7λ=0
Получили спектральное уравнение для нахождения собственных значений λ задачи Штурма-Лиувилля
sin7λ=0,
7λ=πk, k=1,2,…
Собственные значения задачи равны
λk=πk72, k=1,2,…
Им соответствуют собственные функции (с точностью до постоянного множителя)
Xkx=sinπkx7, k=1,2,…
Уравнение для функции Tt примет вид
Tk''(t)+πk72Tkt=0.
Общее решение этого уравнения имеет вид
Tkt=Akcosπkt7+Bksinπkt7.
Решение ux,t исходной задачи представим в виде ряда по собственным функциям
ux,t=k=1∞TktXkx=k=1∞Akcosπkt7+Bksinπkt7sinπkx7,
utx,t=k=1∞πk7-Aksinπkt7+Bkcosπkt7sinπkx7.
Коэффициенты Ak, Bk этого ряда найдем из начальных условий (3)
ux,0=k=1∞Ak sinπkx7=449x(7-x),
utx,0=k=1∞πk7Bk sinπkx7=x.
Учитывая полноту системы собственных функций sinπkx7k=1∞, из первого равенства следует, что коэффициенты Ak представляют собой коэффициенты разложения функции 449x(7-x) в ряд Фурье по собственным функциям sinπkx7k=1∞
Ak=2707449x(7-x)sinπkx7dx=87∙4907x7-x-7πkdcosπkx7=
=-849πkx7-xcosπkx707=0-07cosπkx77-2xdx=
=849πk077-2x 7πkdsinπkx7=87πk27-2xsinπkx707=0+207sinπkx7dx=
=-16πk3cosπkx707=161--1kπk3,
Из второго начального условия следует, что коэффициенты πk7Bk будут коэффициентами разложения функции x в ряд Фурье по собственным функциям sinπkx7k=1∞
πk7Bk=2707x sinπkx7dx,
Bk=2πk07x sinπkx7dx=-14πk207xdcosπkx7=
=-14πk2xcosπkx707-07cosπkx7dx=-14πk27-1k-7πksinπkx707=0=
=-98-1kπk2.
Решение исходной задачи (1) − (3) будет
ux,t=k=1∞161--1kπk3cosπkt7-98-1kπk2sinπkt7sinπkx7.
Ответ:
ux,t=k=1∞161--1kπk3cosπkt7-98-1kπk2sinπkt7sinπkx7.