Метод наименьших квадратов. Найти функцию

Изобразим на рисунке точки, соответствующие табл. 1.
Рис. 1. Экспериментальные значения
1. Будем искать зависимость в виде y (x,a,b) bx a
Вычислим неизвестные параметры системы. Для этого составим вспомогательную таблицу 2:
i
xi yi
xi*yi
1 2,2 1,752 4,84 3,854
2 2,3 1,762 5,29 4,053
3 2,5 1,777 6,25 4,443
4 2,7 1,797 7,29 4,852
5 2,9 1,821 8,41 5,281
6 3,1 1,85 9,61 5,735
7 3,3 1,884 10,89 6,217
8 3,5 1,944 12,25 6,804
∑ 22,5 14,587 64,83 41,239
С учетом данных таблицы, нормальная система примет вид:
Решив систему уравнений любым известным способом (методом Гаусса, методом Крамера и др.), получим значения неизвестных коэффициентов а и b: а = 1,452 и b = 0,132.
Таким образом, уравнение связи имеет вид: ух = 1,452 + 0,132х.
Найдем невязку
Построим график функции y(x) и экспериментальные точки:
Рис. 2. График полученной прямой и экспериментальные точки
2. Будем искать зависимость в виде y (x,a,b,c) ax2 bx c
Для вычисления неизвестных параметров a, b и с, составим нормальную систему уравнений
Вычислим неизвестные параметры системы. Для этого составим вспомогательную таблицу 3:
i
xi yi
xi*yi
1 2,2 1,752 4,84 10,648 23,426 3,854 8,48
2 2,3 1,762 5,29 12,167 27,984 4,053 9,321
3 2,5 1,777 6,25 15,625 39,063 4,443 11,106
4 2,7 1,797 7,29 19,683 53,144 4,852 13,1
5 2,9 1,821 8,41 24,389 70,728 5,281 15,315
6 3,1 1,85 9,61 29,791 92,352 5,735 17,779
7 3,3 1,884 10,89 35,937 118,592 6,217 20,517
8 3,5 1,944 12,25 42,875 150,063 6,804 23,814
∑ 22,5 14,587 64,83 191,115 575,352 41,239 119,432
С учетом данных таблицы, нормальная система примет вид:
Выполнив решение полученной системы методом Крамера, получим
a 0,071705, b -0,268959, c 1,998744
Следовательно, искомая функция примет вид
y 0,071705x2 -0,268959x 1,998744
Найдем невязку
Построим график функции y(x) и экспериментальные точки:
Рис . 3. График полученной параболы и экспериментальные точки
3. Будем искать зависимость в виде y = a ebx (ln y = ln a + bx)
Вычислим неизвестные параметры системы. Для этого составим вспомогательную таблицу 4:
i
xi yi
ln(y) x ln(y)
1 2,2 1,752 4,84 0.561 1.234
2 2,3 1,762 5,29 0.566 1.303
3 2,5 1,777 6,25 0.575 1.437
4 2,7 1,797 7,29 0.586 1.583
5 2,9 1,821 8,41 0.599 1.738
6 3,1 1,85 9,61 0.615 1.907
7 3,3 1,884 10,89 0.633 2.09
8 3,5 1,944 12,25 0.665 2.327
∑ 22,5 14,587 64,83 4.801 13.618
С учетом данных таблицы, нормальная система примет вид:
Решив систему уравнений любым известным способом (методом Гаусса, методом Крамера и др.), получим значения неизвестных коэффициентов а и b: а = 0,391 и b = 0,074.
Таким образом, уравнение связи имеет вид: y = 0.391e0.074x.
Найдем невязку
Построим график функции y(x) и экспериментальные точки:
Рис