Линейная алгебра
Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными x1,x2,x3 задана своей расширенной матрицей. Требуется:
1) записать систему в канонической форме (в виде системы уравнений),
2) решить ее методом полного исключения,
3) решить эту же систему по формулам Крамера.
12-15-43463026-8
Решение
Запишем систему в канонической форме:
x1+2x2-x3=05x1-4x2+3x3=264x1+6x2+3x3=-8
2) Требуется найти решение этой системы методом полного исключения. Вернемся к расширенной матрице системы, которая имеет вид:
A=12-105-4326463-8
Первый шаг решения. В качестве «ведущей строки первого шага» выберем первую строку. Первый столбец назовем «ведущий столбец первого шага», а элемент, расположенный на пересечении ведущей строки и ведущего столбца, назовем «ведущий элемент первого шага». Запишем матрицу A1с первой строкой:
A1=12-10
Чтобы найти вторую строку матрицы A1, ко второй строке матрицы A прибавим первую строку из матрицы A1, предварительно умножив ее на (-5), получим:
+-5-10505-43260-14826
Теперь матрица A1 будет иметь вид
A1=12-100-14826
Чтобы найти третью строку матрицы A1, к третьей строке матрицы A прибавим первую строку из матрицы A1, предварительно умножив ее на (-4), получим:
+-4-840463-80-27-8
Теперь матрица A1 будет иметь вид
A1=12-100-148260-27-8
Если будем рассматривать матрицу A1 как систему уравнений, то увидим, что в результате элементарных преобразований получили систему, равносильную исходной, причем неизвестная x1 в первое уравнение входит с коэффициентом единица, а из остальных уравнений она исключена.
Второй шаг решения состоит в том, что неизвестная x2 исключается из всех уравнений кроме второго, а во второе должна входить с коэффициентом единица.
Выбираем любую строку, которая еще не была ведущей и у которой второй элемент не равен нулю, например, вторую строку
. Эту строку назовем «ведущая строка второго шага». Ведущую (вторую) строку делим на ведущий элемент и получаем новую строку, которую записываем второй строкой в новой матрице A2. При этом новая матрица примет вид
A2=01-47-137
Чтобы найти первую строку матрицы A2, ко второй строке матрицы A1 прибавим новую вторую строку из матрицы A2, предварительно умножив ее на такое число, чтобы во втором столбце оказался ноль. В нашем примере к первой строке матрицы A1 нужно прибавить вторую строку матрицы A2, умноженную на (-2), получим
+12-100-2872671017267
Теперь матрица A2 будет иметь вид
A2=101726701-47-137
Чтобы найти третью строку матрицы A2, к третьей строке матрицы A1 прибавим новую вторую строку из матрицы A2, предварительно умножив ее на такое число, чтобы во втором столбце оказался ноль. В нашем примере к третьей строке матрицы A1 нужно прибавить вторую строку матрицы A2, умноженную на (+2), получим
+0-27-802-87-26700417-827
Теперь матрица A2 будет иметь вид
A2=101726701-47-13700417-827
Если матрицу A2 рассматривать как систему уравнений, то увидим, что в результате элементарных преобразований получили систему, равносильную исходной, причем неизвестная x1 исключена из всех уравнений, кроме первого, а x2 из всех уравнений, кроме второго.
Третий шаг решения состоит в том, что неизвестная x3 исключается из всех уравнений кроме третьего, а в третьей должна входить с коэффициентом единица.
Ведущую (третью) строку делим на ведущий элемент и получаем новую строку, которую записываем третьей строкой в новой матрице A3.
A3=001-2
К первой строке матрицы A2 нужно прибавить ведущую строку матрицы A3 , умноженную на (-1/7)
+101726700-17271004
Теперь матрица A3 будет иметь вид
A3=1004001-2
Ко второй строке матрицы A2 прибавить ведущую строку матрицы A3, взятую с коэффициентом (4/7)
+01-47-1370047-87010-3
Теперь матрица A3 будет иметь вид
A3=1004010-3001-2
Если заменить эту матрицу соответствующей ей системой уравнений, то получим ответ
x1=+4x2=-3x3=-2
3) Требуется найти решение этой системы по формулам Крамера.
Вычислим определитель системы
x1+2x2-x3=05x1-4x2+3x3=264x1+6x2+3x3=-8
Для этого воспользуемся формулой разложения определителя по элементам первой строки.
∆=12-15-43463=-11+1∙1∙-4363+-11+2∙2∙5343+
+-11+3∙-1∙5-446=
=1∙-4∙3-6∙3+-1∙2∙5∙3-4∙3+1∙-1∙5∙6-4∙-4
=1∙-30-2∙3-1∙46=-82
Определитель системы ∆=-82≠0→ система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера:
x1=∆1∆,x2=∆2∆,x3=∆3∆
Из определителя системы ∆ составим определитель ∆1, заменив в нем первый столбец столбцом свободных членов, и вычислим его:
∆2=02-126-43-863=-11+1∙0∙-4363+-11+2∙2∙263-83+
+-11+3∙-1∙26-4-86=
=0∙-4∙3-6∙3+-1∙2∙26∙3- -8∙3+
+1∙-1∙26∙6- ( -8)∙-4=0∙-30-2∙102-1∙124=-328
Из определителя системы ∆ составим определитель ∆2, заменив в нем второй столбец столбцом свободных членов, и вычислим его:
∆2=10-152634-83=-11+1∙1∙263-83+-11+2∙0∙5343+
+-11+3∙-1∙5264-8=
=1∙26∙3- -8∙3+-1∙0∙5∙3-4∙3+
+1∙-1∙5∙-8-4∙26=1∙102-0∙3-1∙(-144)=246
Из определителя системы ∆ составим определитель ∆3, заменив в нем третий столбец столбцом свободных членов, и вычислим его:
∆=1205-42646-8=-11+1∙1∙-4266-8+-11+2∙2∙5264-8+
+-11+3∙0∙5-446=
=1∙-4∙-8-6∙26+-1∙2∙5∙-8-4∙26+
+1∙0∙5∙6-4∙-4=1∙-124-2∙(-144)-0∙46=164
Подставляем найденные значения в формулы Крамера, тогда получим
x1=∆1∆=-328-82=4,
x2=∆2∆=246-82=-3,
x3=∆3∆=164-82=-2
Чтобы убедиться в правильности решения, подставим найденные значения неизвестных в исходную систему:
4+2∙(-3)-( -2)=05∙4-4∙(-3)+3∙(-2)=264∙4+6∙(-3)+3∙(-2)=-8
Ответ: x1=4x2=-3x3=-2
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
