Критерий согласия Пирсона

Исходный интервальный ряд представим в виде таблицы:
i
Нижняя граница интервала Верхняя граница интервала Середина интервала
1 0,3 1,20 1,50
2 0,3 1,50 1,80
3 0,3 1,80 2,10
4 0,3 2,10 2,40
5 0,3 2,40 2,70
6 0,3 2,70 3,00
Найдем относительные и интегральные (накопленные частоты), пользуюсь для удобства вычислений таблицей с дискретным вариационным рядом:
Интервальный ряд
i
Середина интервала Абсолютная частота ni
Относительная частота (частость) wi=ni/N
Накопленная частота niнакопл
1 1,35 3 0,09 0,09
2 1,65 5 0,16 0,25
3 1,95 10 0,31 0,56
4 2,25 8 0,25 0,81
5 2,55 4 0,13 0,94
6 2,85 2 0,06 1,00
Σ
32 1
Для наглядности интервальные ряды изображают графически с помощью полигона и гистограммы.
Для построения полигона и гистограммы используется прямоугольная система координат, на оси абсцисс которой строится шкала значений (интервальные группы), а на оси ординат – частот или частостей.
Таким образом, построим в excel гистограмму абсолютных частот.
Построим в excel полигон абсолютных частот.
Построим в excel гистограмму относительных частот.
Построим в excel полигон относительных частот.
Составим вспомогательную таблицу для вычисления выборочных характеристик ряда.
i
xi
ni
xi∙ni
(xi-x)
(xi-x)2∙ni
1 1,35 3 4,05 -0,70 1,48
2 1,65 5 8,25 -0,40 0,81
3 1,95 10 19,50 -0,10 0,11
4 2,25 8 18,00 0,20 0,31
5 2,55 4 10,20 0,50 0,99
6 2,85 2 5,70 0,80 1,27
Σ
  32 65,70   4,97
На основании таблицы найдем точечные оценки математического ожидания, дисперсии и среднеквадратичного отклонения.
Точечной оценкой математического ожидания – несмещенной оценкой генеральной средней (математического ожидания) служит выборочная средняя:
xв*=i=16xi∙nin,
xв*=65,7032≈2,05.
Смещенной оценкой дисперсии служит выборочная дисперсия:
Dв*=i=16(xi-x)2∙nin=4,9732≈0,155.
Выборочное среднеквадратическое отклонение случайной величины X.
σв*=Dв*≈0,394.
Несмещенной оценкой генеральной дисперсии служит исправленная выборочная дисперсия:
S2=i=16(xi-x)2∙nin-1=65,7031≈0,160.
Исправленное выборочное среднеквадратическое отклонение случайной величины x.
s=S2≈0,400.
На основе анализа гистограммы, вычисленных выборочных моментов и вида теоретической кривой можем выдвинуть предположение о характере генерального распределения – случайная величина X распределена по нормальному закону.
Проверим гипотезу о том, что случайная величина X распределена по нормальному закону с помощью критерия согласия Пирсона.
Найдем интервалы zi,zi+1:
i
Границы интервала xi-x
xi+1-x
Границы интервала
xi
xi+1
zi=xi-xσ
zi+1=xi+1-xσ
1 1,20 1,50 - -0,55 -∞
-1,40
2 1,50 1,80 -0,55 -0,25 -1,40 -0,64
3 1,80 2,10 -0,25 0,05 -0,64 0,12
4 2,10 2,40 0,05 0,35 0,12 0,88
5 2,40 2,70 0,35 0,65 0,88 1,64
6 2,70 3,00 0,65 - 1,64 ∞
i
Границы интервала Φ(zi)
Φ(zi+1)
Pi=Φzi+1-Φ(zi)
ni'=32Pi
zi
zi+1
1 -∞
-1,40 -0,5000 -0,4192 0,08 2,59
2 -1,40 -0,64 -0,4192 -0,2389 0,18 5,77
3 -0,64 0,12 -0,2389 0,0478 0,29 9,17
4 0,12 0,88 0,0478 0,3106 0,26 8,41
5 0,88 1,64 0,3106 0,4495 0,14 4,44
6 1,64 ∞
0,4495 0,5000 0,05 1,62
Σ
1 32
Сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерий Пирсона:
Вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона.
χнабл2=ni2/ni'-n.
Контроль: ni2/ni'-n=32,40-0,40=32.
i
ni
ni'
ni-ni'
ni-ni'2
ni-ni'2/ni'
ni2
ni2/ni'
1 3 2,59 0,41 0,17 0,07 9 3,48
2 5 5,77 -0,77 0,59 0,10 25 4,33
3 10 9,17 0,83 0,68 0,07 100 10,90
4 8 8,41 -0,41 0,17 0,02 64 7,61
5 4 4,44 -0,44 0,20 0,04 16 3,60
6 2 1,62 0,38 0,15 0,09 4 2,48
Σ
32 32
χнабл2=0,40
32,40
По таблице критических точек распределения χ2 («ХИ-квадрат» распределения), по уровня значимости α=0,05 и числу степеней свободы k=s-3=6-3=3, s – число интервалов, находим критическую точку правосторонней критической области χкр20,05;3=7,8.
Так как χнабл2<χкр2, то нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности; другими словами расхождение между эмпирическими и теоретическими частотами незначимо