К стальному ступенчатому валу, имеющему сплошное поперечное сечение, приложены четыре момента. Левый конец вала жёстко закреплён к опоре, а правый конец – свободен и его торец имеет угловые перемещения относительно левого конца.
Дано:
Схема 8, М1 = 3,0 кН·м, М2 = 4,0 кН·м, М3 = 1,0 кН·м, М4 = 1,0 кН·м, а = 1,7 м
b = 1,7 м, с = 1,5 м, d = 1,4 м.
Требуется:
1. Построить эпюру крутящих моментов по длине вала.
2. При заданном значении допускаемого напряжения на кручение определить диаметры d1 и d2 вала из расчёта на прочность, полученное значение округлить.
3. Построить эпюру действительных напряжений кручения по длине вала.
4. Построить эпюру углов закручивания, приняв G = 80МПа.
Решение
Примечание. 1.Значение допускаемого напряжение на кручение (сдвиг) не задано.
2. Модуль упругости 2-го рода G по числовой величине, имеет размерность
G = 80 ГПа, а не МПа. Для стали Ст.3, можно принять [τ] = 80 МПа.
Разбиваем вал на четыре характерных силовых участка: I, II, III и IV и используя метод сечений, находим внутренние крутящие моменты МК на каждом участке.
Участок I: ΣМZ = 0, МК1 + М4 = 0, ⟹ МК1 = - М4 = - 1,0 кН·м. Аналогично для других участков.
МК2 = - М4 + М3 = -1,0 + 1,0 = 0,
МК3 = - М4 + М3 - М2 = 0 - 4,0 = - 4,0 кН·м,
МК4 = М4 + М3 - М2 + М1 = - 4,0 + 3,0 = - 1,0 кН·м. По полученным результатам строим эпюру крутящих моментов МК.
Условие прочности при чистом кручении, имеет вид:
τmax = МК/Wp ≤ [τ], для круглого сплошного сечения (в действительности по условию задачи это однозначно не оговорено), полярный момент сопротивления определяется по формуле: Wp = π·d3/16, тогда подставляя в условие прочности и решая относительно d, получим:
d ≥ (16·МК/π·[τ])1/3, тогда вычисляя для каждого участка, находим:
d1 ≥ (16·МК1/π·[τ])1/3 = (16·1,0·103/3,14·80·106 )1/3 = 39,9·10-3 м = 39,9 мм, округляя, принимаем d1 = 40,0 мм.
d2 ≥ (16·МК2/π·[τ])1/3 = 0, т.к
. МК2 = 0,
d3 ≥ (16·МК3/π·[τ])1/3 =(16·4,0·103/3,14·80·106 )1/3 = 63,4 мм, принимаем d3 = 65,0 мм.
d4 ≥ (16·МК4/π·[τ])1/3 = (16·1,0·103/3,14·80·106 )1/3 = 39,9 мм, принимаем d4 = 40,0 мм
Диаметр участка II, принимаем равным: d2 = d1/2 = 20 мм.
Для построения эпюры действительных максимальных касательных напряжений, определяем предварительно полярные моменты сопротивления в соответствии с
принятыми диаметрами.
Wp1 = π·d13/16 = 3,14·4,03/16 = 12,57 см3,
Wp2 = π·d23/16 = 3,14·2,03/16 =1,57 см3,
Wp3 = π·d33/16 = 3,14·6,53/16 = 53,92 см3,
Wp4 = π·d43/16 = 3,14·4,03/16 = 12,57 см3, тогда напряжения равны:
τ1 = МК1/Wp1 = -1,0·103/12,57·10-6 = -79,55·106 Па = -79,55МПа,
τ2 = МК2/Wp2 = 0/Wp2 = 0,
τ3 = МК3/Wp3 = - 4,0·103/53,92·10-6 = - 74,18 МПа,
τ4 = МК4/Wp4 = - ,0·103/12,57·10-6 = -79,55МПа, по полученным результатам строим эпюру касательных напряжений.
Находим предварительно полярные моменты сопротивлений и жесткость участков вала.
JP1= Wp1·d1/2 = 12,57·4,0/2 = 25,14 см4,
JP2= Wp2·d2/2 =1,57·2,0/2 = 1,57 см4,
JP3= Wp3·d3/2 = 53,92·6,5/2 = 175,24см4,
JP4= Wp4·d4/2 =12,57·4.0/2 =25,14 см4.
Жесткости сечений соответствующих участков равны:
G·JP1= 80·109·25,14·10-8 = 20,11·103 H·м2,
G·JP2= 80·109·1,57·10-8 = 1,26·103 H·м2,
G·JP3= 80·109·175,24·10-8 = 140,19·103 H·м2,
G·JP4= 80·109·25,14·10-8 = 20,11·103 H·м2
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
