Изучается зависимость материалоемкости продукции от размера предприятия по 12 однородным заводам.
№ Потреблено материалов на
единицу продукции,
кг. (y) Выпуск продукции, тыс. ед. (x)
1 9,0 100
2 6,0 200
3 5,0 300
4 4,0 400
5 3,7 500
6 3,5 600
7 3,5 700
8 6,0 150
9 7,0 120
10 3,5 250
11 4,5 300
12 5,2 380
Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.
Рассчитайте параметры уравнений линейной и гиперболической парной регрессии.
Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.
Дайте с помощью общего коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.
Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.
Оцените с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в пп. 3,5 и данном пункте, выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование.
Оцените с помощью t-критерия Стьюдента статистическую надежность коэффициентов регрессии.
По линейной функции постройте доверительный интервал для коэффициента регрессии.
По линейной функции рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 5 процентов от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости α= 0,05. 10.Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.
Решение
Для предварительного определения вида связи между указанными признаками построим корреляционное поле.
Рис. 1 Поле корреляции зависимости потребления материалов на
единицу продукции от выпуска продукции.
По виду расположения точек можно предположить, что имеется сильная отрицательная корреляционная зависимость.
Рассчитаем параметры уравнений линейной и гиперболической парной регрессии:
Таблица 1.
x y xy
x2 y2 e2
1 9 100 900 10000 81,000 6,683 2,317 5,371
2 6 200 1200 40000 36,000 5,994 0,006 0,000
3 5 300 1500 90000 25,000 5,305 -0,305 0,093
4 4 400 1600 160000 16,000 4,616 -0,616 0,379
5 3,7 500 1850 250000 13,690 3,927 -0,227 0,051
6 3,5 600 2100 360000 12,250 3,238 0,262 0,069
7 3,5 700 2450 490000 12,250 2,549 0,951 0,905
8 6 150 900 22500 36,000 6,338 -0,338 0,114
9 7 120 840 14400 49,000 6,545 0,455 0,207
10 3,5 250 875 62500 12,250 5,649 -2,149 4,619
11 4,5 300 1350 90000 20,250 5,305 -0,805 0,647
12 5,2 380 1976 144400 27,040 4,753 0,447 0,199
Итого 60,9 4000 17541 1733800 340,730 60,900 0,000 12,654
Среднее значение 5,075 333,33333 1461,750 144483,333 28,394
По данным таблицы находим:
, ,
, ,
..
Модель парной линейной регрессии имеет вид
,
где y – зависимая переменная (результативный признак), x – независимая (объясняющая) переменная, – случайные отклонения, 0 и 1 – параметры регрессии. По выборке ограниченного объема можно построить эмпирическое уравнение регрессии:
,
где b0 и b1 – эмпирические коэффициенты регрессии. Для оценки параметров регрессии обычно используют метод наименьших квадратов (МНК). В соответствие с МНК, сумма квадратов отклонений фактических значений зависимой переменной y от теоретических была минимальной:
,
где – отклонения yi от оцененной линии регрессии. Необходимым условием существования минимума функции двух переменных (1.12) является равенство нулю ее частных производных по неизвестным параметрам b0 и b1. В результате получаем систему нормальных уравнений:
Решая систему, найдем
,
.
По данным таблицы 1. находим
;
.
Получено уравнение регрессии:
.
Параметр b1 называется коэффициентом регрессии. Его величина показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу. В рассматриваемом случае, с увеличением выпуска продукции на 1 тыс.ед. потребление материалов на единицу продукции снижается в среднем на 0,0069 кг.
Модель парной гиперболической регрессии имеет вид:
также предшествует процедура линеаризации путем преобразования
. В результате получается линейное уравнение регрессии:
.
Для расчетов используем данные таблицы 2.
Таблица 2.
y v=1/x yv
v2 y2 A
1 9 0,010 0,090 0,0001000 81 8,370 0,630 7,004 0,397 10,855 15,406
2 6 0,005 0,030 0,0000250 36 5,509 0,491 8,181 0,241 0,188 0,856
3 5 0,003 0,017 0,0000111 25 4,556 0,444 8,887 0,197 0,270 0,006
4 4 0,003 0,010 0,0000063 16 4,079 -0,079 1,972 0,006 0,992 1,156
5 3,7 0,002 0,007 0,0000040 13,69 3,793 -0,093 2,509 0,009 1,644 1,891
6 3,5 0,002 0,006 0,0000028 12,25 3,602 -0,102 2,918 0,010 2,169 2,481
7 3,5 0,001 0,005 0,0000020 12,25 3,466 0,034 0,974 0,001 2,589 2,481
8 6 0,007 0,040 0,0000444 36 6,463 -0,463 7,711 0,214 1,926 0,856
9 7 0,008 0,058 0,0000694 49 7,416 -0,416 5,945 0,173 5,481 3,706
10 3,5 0,004 0,014 0,0000160 12,25 4,937 -1,437 41,059 2,065 0,019 2,481
11 4,5 0,003 0,015 0,0000111 20,25 4,556 -0,056 1,237 0,003 0,270 0,331
12 5,2 0,003 0,014 0,0000069 27,04 4,154 1,046 20,112 1,094 0,848 0,016
Итого 60,9 0,050893 0,306 0,0002991 340,73 60,9 0,000 108,5085 4,411 27,251 31,663
Среднее значение 5,08 0,004 0,025 0,0000249 28,39416667
s 1,62 0,0026
s2 2,64 0,000007
В соответствии с формулой вычисляем
, .
В результате, получим уравнение гиперболической регрессии:
.
3. Оценим тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации:
Коэффициент корреляции
Для линейной функции
Линейный коэффициент корреляции характеризует тесноту линейной связи между изучаемыми признаками. Его можно определить по следующей формуле:
,
Для нашей задачи r = - 0,775, что указывает на высокую взаимосвязь между Выпуск продукции и потреблено материалов на единицу продукции. Отрицательная величина свидетельствует об обратной связи между изучаемыми признаками.
Индекс корреляции:
для гиперболической регрессии
Величина индекса корреляции находится в границах от 0 до 1. Чем ближе она к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно уравнение регрессии.
для полулогарифмической регрессии:
Коэффициент детерминации
характеризует долю дисперсии результативного признака, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака. По данным таблиц 1и 2 получаем
для линейной регрессии ,
Множественный коэффициент детерминации , показывает, что около 60% вариации зависимой переменной учтено в модели и обусловлено влиянием включенного и на 40% — другими факторами, не включенными в модель.
для полулогарифмической регрессии .
Множественный коэффициент детерминации , показывает, что около 86,1% вариации зависимой переменной учтено в модели и обусловлено влиянием включенного и на 13,9% — другими факторами, не включенными в модель.
4
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
