Из урны, в которой лежат пять черных и два белых шара, последовательно вынимаются шары до тех пор, пока не появится черный шар

Пусть Х – число извлеченных шаров. Это дискретная случайная величина, которая может принимать значения: 1,2,3
Найдем вероятность того, что с первой попытки будет извлечен черный шар:
РХ=1=55+2=57=0,714
Найдем вероятность того, что с первой попыткой был извлечен белый шар, а со второй – черный:
РХ=2=25+2∙55+2-1=27∙56=0,238
Найдем вероятность того, что с первой попыткой был извлечен белый шар, со второй – белый шар, а с третьей – черный шар:
РХ=3=25+2∙15+2-1∙55+2-2=27∙16∙55=0,048
Тогда закон распределения числа извлеченных шаров имеет вид:
Х 1 2 3
р
0,714 0,238 0,048
Проверим выполнения условия нормировки:
i=03pi=0,714+0,238+0,048=1
Математическое ожидание найдем по формуле:
MХ=xi∙pi=хр+хр+…+хр
Таким образом
MХ=1∙0,714+2∙0,238+3∙0,048=0,714+0,476+0,144=1,334
Дисперсию найдем по формуле:
DХ=xi2∙pi-MХ2=(х)р+(х)р+…+(х)р-( М(Х))
Таким образом
DХ=12∙0,714+22∙0,238+32∙0,048-1,3342=
=1∙0,714+4∙0,238+9∙0,048-1,7796
=0,714+0,952+0,432-1,7796
=2,098-1,7796=0,318
Среднее квадратическое отклонение найдем по формуле
σ=DХ
Тогда
σ=0,318≈0,564
С таблице определяем моду Мо=1, как значение при максимальной вероятности