Из приведенных ниже заданий согласно своему варианту выбрать нелинейное уравнение, провести исследование функции и выделить интервалы изоляции корня (можно сделать графически, используя ППП Microsoft Excel). На выбранном интервале уточнить корень с точностью ε = 0,0001, используя метод половинного деления и метод хорд.
Область определения функции. Точки разрыва функции.
Ответ
x = 0,7662 F(x) = 2.32E-5
Решение
Функция определена и непрерывна на интервале (0;∞)
Четность или нечетность функции.
y(-x)=-x+ln(-x)-0.5
Функция общего вида
Периодичность функции.
Непериодична
Точки пересечения кривой с осями координат.
Пересечение с осью 0Y
Нет пересечений.
Пересечение с осью 0X
y=0
x+ln(x)-0.5=0
x1=0.76624870
Исследование на экстремум.
y = x+log(x)-0.5
Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.
EQ fʹ(x) = 1+\f(1;x)
или
EQ fʹ(x)=\f(x+1;x)
Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю
x+1 = 0
Откуда:
x1 = -1
В области определения (0;∞) f '(x) > 0 – функция возрастает
Экстремумов нет.
Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции. Вторая производная.
EQ fʺ(x) = \f(1;x)-\f(x+1;x2)
или
EQ fʺ(x) = \f(-1;x2)
Находим корни уравнения. Для этого полученную функцию приравняем к нулю.
EQ \f(-1;x2) = 0
Для данного уравнения корней нет.
В области определения (0;∞) f '' (x) < 0 – функция Выпукла
Асимптоты кривой.
y = x+ln(x)-0.5
Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y = kx + b. По определению асимптоты:
EQ \a(lim;x→∞) (kx + b - f(x))
Находим коэффициент k:
EQ k = \a(lim;x→∞) \f(f(x);x)
EQ k = \a(lim;x→∞) \f(x+ln(x)-0.5;x) = \a(lim;x→∞) \f(x+ln(x)-0.5;x) = 1
Находим коэффициент b:
EQ b = \a(lim;x→∞) f(x) - k·x
EQ b = \a(lim;x→∞) x+ln(x)-0.5 - x = \a(lim;x→∞) ln(x)-0.5 = ∞
Предел равен ∞, следовательно, наклонные асимптоты функции отсутствуют
.
Рис. 1 График функции
Интервал для корня [0,6;0,8]
Найдем корни уравнения:
x+ln(x)-0.5 = 0
ε = 0.0001
Используем для этого Метод половинного деления (метод дихотомии).
Считаем, что отделение корней произведено и на интервале [a,b] расположен один корень, который необходимо уточнить с погрешностью ε.
Итак, имеем f(a)f(b)<0. Метод дихотомии заключается в следующем.
Определяем половину отрезка c=1/2(a+b) и вычисляем f(c). Проверяем следующие условия:
1. Если |f(c)| < ε, то c – корень. Здесь ε - заданная точность.
2. Если f(c)f(a)<0, то корень лежит в интервале [a,c].
3. Если f(c)f(b)<0, то корень лежит на отрезке[c,b].
Продолжая процесс половинного деления в выбранных подынтервалов, можно дойти до сколь угодно малого отрезка, содержащего корень ξ.
Так как за каждую итерацию интервал, где расположен корень уменьшается в два раза, то через n итераций интервал будет равен:
bn-an=1/2n(b-a)
В качестве корня ξ. возьмем 1/2(an+bn). Тогда погрешность определения корня будет равна (bn – an)/2. Если выполняется условие:
(bn – an)/2 < ε
то процесс поиска заканчивается и ξ = 1/2(an+bn).
Поскольку F(0.6)*F(0.8)<0 (т.е. значения функции на его концах имеют противоположные знаки), то корень лежит в пределах [0.6;0.8].
Итерация 1.
Находим середину отрезка: c = (0.6 + 0.8)/2 = 0.7
Поскольку F(c)*F(a) > 0, то a=0.7
Поскольку F(c)*F(b) < 0, то b=0.8
Итерация 2
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
