Из генеральной совокупности извлечена выбора. Требуется построить вариационный ряд

Построим вариационный ряд. Для этого отсортируем ряд по возрастанию
1 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 5 5 5 5 5 6 6 6 7
подсчитаем количество повторения для каждого элемента ряда
xi Кол-во, ni
1 1
2 3
3 6
4 1
5 5
6 3
7 1
Полигон частот:
распределение относительных частот
xi Относительная частота, ni/n
1 0.05
2 0.15
3 0.3
4 0.05
5 0.25
6 0.15
7 0.05
Полигон относительных частот:
Функция распределения F(X).
F(x≤1) = 0
F(1< x ≤2) = 0.05
F(2< x ≤3) = 0.15 + 0.05 = 0.2
F(3< x ≤4) = 0.3 + 0.2 = 0.5
F(4< x ≤5) = 0.05 + 0.5 = 0.55
F(5< x ≤6) = 0.25 + 0.55 = 0.8
F(6< x ≤7) = 0.15 + 0.8 = 0.95
F(x>7) = 1
Таблица для расчета
xi Кол-во, ni xi·ni (x-xср)2·ni
1 1 1 8.703
2 3 6 11.408
3 6 18 5.415
4 1 4 0.0025
5 5 25 5.513
6 3 18 12.608
7 1 7 9.303
Итого 20 79 52.95
выборочная средняя
выборочна дисперсия
исправленная дисперсия
ЗАДАНИЕ №6
Даны результаты наблюдений непрерывной случайной величины Х (СВ Х).
Построить интервальный вариационный ряд распределения СВ Х.
Построить гистограмму и полигон относительных частот СВ Х.
Построить график эмпирической функции распределения СВ Х.
Вычислить несмещенные оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения СВ Х.
Проверить с помощью критерия Пирсона гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности при уровне значимости 0,05
Найти доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения с надежностью 0,95.
Найти доверительный интервал для среднеквадратического отклонения нормального распределения с надежностью 0,95.
Записать функцию плотности нормального распределения.
(Вычисления проводить с точностью до 0,001)
92 82 71 105 92 105 97 98 102 86
127 134 139 86 66 109 108 107 107 104
34 45 74 74 75 69 48 47 60 38
112 111 121 118 105 116 93 98 94 124
96 75 86 92 74 82 123 140 92 82
Определение числа интервалов
Число интервалов приближенно определяется по формуле Стэрджесса
n = 1 + 3,2log n = 1 + 3,2log(50) = 6
Ширина интервала составит:
xmax - максимальное значение группировочного признака в совокупности.
xmin - минимальное значение группировочного признака.
Определим границы интервалов.
Номер группы Нижняя граница Верхняя граница
1 34 52
2 52 70
3 70 88
4 88 106
5 106 124
6 124 142
Одно и тоже значение признака служит верхней и нижней границами двух смежных (предыдущей и последующей) групп.
Для каждого значения ряда подсчитаем, какое количество раз оно попадает в тот или иной интервал . Для этого сортируем ряд по возрастанию.
Результаты группировки оформим в виде таблицы:
Группы Середина интервала, xi Кол-во, ni Относительная частота, ni/n
34 - 52 43 5 0.1
52 - 70 61 3 0.06
70 - 88 79 12 0.24
88 - 106 97 15 0.3
106 - 124 115 10 0.2
124 - 142 133 5 0.1
Полигон относительных частот:
Функция распределения F(X).F(x≤34) = 0F(34<x≤52) = 0 + 0.1 = 0.1F(52<x≤70) = 0.1 + 0.06 = 0.16F(70<x≤88) = 0.16 + 0.24 = 0.4F(88<x≤106) = 0.4 + 0.3 = 0.7F(106<x≤124) = 0.7 + 0.2 = 0.9F(124<x≤142) = 0.9 + 0.1 = 1F(x>142) = 1
Таблица для расчета показателей.
Группы Середина интервала, xi Кол-во, ni xi·ni (x-xср)2·ni
34 - 52 43 5 215 12162.312
52 - 70 61 3 183 2942.827
70 - 88 79 12 948 2129.069
88 - 106 97 15 1455 328.536
106 - 124 115 10 1150 5143.824
124 - 142 133 5 665 8274.312
Итого
50 4616 30980.88
выборочная средняя
Дисперсия
Несмещенная оценка дисперсии (исправленная дисперсия).
Оценка среднеквадратического отклонения.
Проверка гипотез о виде распределения.
Проверим гипотезу о том, что Х распределено по нормальному закону с помощью критерия согласия Пирсона.
где pi — вероятность попадания в i-й интервал случайной величины, распределенной по гипотетическому закону
Для вычисления вероятностей pi применим формулу и таблицу функции Лапласа
где
s = 25.145, xср = 92
Теоретическая (ожидаемая) частота равна ni = npi, где n = 50
Вероятность попадания в i-й интервал: pi = Ф(x2) - Ф(x1)
xi÷xi+1 ni x1 = (xi - xср)/s x2 = (xi+1 - xср)/s Ф(x1) Ф(x2) pi=Ф(x2)-Ф(x1) Ожидаемая частота, 50pi Слагаемые статистики Пирсона, Ki
34 - 52 5 -2.3194 -1.6035 -0.4898 -0.4463 0.0435 2.175 3.6693
52 - 70 3 -1.6035 -0.8877 -0.4463 -0.3133 0.133 6.65 2.0034
70 - 88 12 -0.8877 -0.1718 -0.3133 -0.0714 0.2419 12.095 0.000746
88 - 106 15 -0.1718 0.544 -0.0714 0.2088 0.2802 14.01 0.06996
106 - 124 10 0.544 1.2599 0.2088 0.3962 0.1874 9.37 0.04236
124 - 142 5 1.2599 1.9758 0.3962 0.4761 0.0799 3.995 0.2528
50
6.0385
Определим границу критической области