Из генеральной совокупности извлечена выборка. Данные наблюдений сведены в группы и представлены в виде дискретного ряда, где первая строка – середины частичных интервалов xi, вторая строка – соответствующие им частоты ni. Требуется провести статистическую обработку экспериментальных данных по следующей схеме:
1) Построить выборочную (эмпирическую) функцию распределения Fx
2) Построить полигон и гистограмму относительных частот.
3) Найти числовые характеристики выборки: выборочную среднюю xB, выборочное среднее квадратическое отклонение σB, исправленное среднее квадратическое отклонение s.
4) Сделать предварительный выбор закона распределения по виду гистограммы и полигона относительных частот.
5) Проверить с помощью критерия согласия Пирсона гипотезу о нормальном законе распределения генеральной совокупности при уровне значимости α=0.05.
6) В случае принятия гипотезы найти интервальные оценки параметров нормального распределения (доверительную вероятность принять равной γ=1-α=0.95).
Вычисления проводить с точностью до 0,001.
xi
3 5 7 9 11 13 15 17
ni
5 12 16 22 18 15 8 4
Решение
1) Построить выборочную (эмпирическую) функцию распределения F*x.
Для точечного распределения выборки может быть получена эмпирическая функция распределения F*x, которая является статистической оценкой функции распределения вероятностей признака X (интегрального закона распределения) и строится по формуле:
F*x=nxn
где n − объем выборки, а nx − сумма частот выборочных значений признака, которые меньше x.
В нашей задаче, очевидно,
xi
3 5 7 9 11 13 15 17 ∑
ni
5 12 16 22 18 15 8 4 100
nxn
0,05 0,12 0,16 0,22 0,18 0,15 0,08 0,04 1
Накопленные частоты 0,05 0,17 0,33 0,55 0,73 0,88 0,96 1
F*x=0 при x≤3, 0.05 при 3<x≤5,0.17 при 5<x≤7,0.33 при 7<x≤9,0.55 при 9<x≤11,0.73 при 11<x≤13,0.88 при 13<x≤15,0.96 при 15<x≤17,1 при x>17
2) Построить полигон и гистограмму относительных частот
Распределение непрерывной случайной величины принято графически представлять кривой распределения, которая является графиком ее плотности вероятностей (дифференциальной функции распределения). В статистике одной из оценок кривой распределения является гистограмма относительных частот.
Это ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы, а высотами являются плотности относительных частот pi на частичных интервалах.
может быть построен полигон относительных частот, который является, как и гистограмма относительных частот, статистической оценкой кривой распределения признака
. Это ломаная линия, вершины которой находятся в точках xi;ni:
Полигон относительных частот
3) Найти числовые характеристики выборки: выборочную среднюю xB, выборочное среднее квадратическое отклонение σB, исправленное среднее квадратическое отклонение S.
Важнейшими числовыми характеристиками признака X являются, как известно, математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение (с.к.o.). Точечными статистическими оценками этих параметров служат соответственно выборочное среднее x, выборочная дисперсия σx2=σn2 и исправленная выборочная дисперсия σn-12=s2, выборочное с.к.o.
σx=σn и исправленное выборочное с.к.o. σn-1=s , которые вычисляются по формулам:
По приведенным выше формулам вычислим точечные статистические оценки генеральных параметров распределения признака X , используя при этом данные из таблицы:
1) Находим выборочное среднее:
xi
3 5 7 9 11 13 15 17
ni
5 12 16 22 18 15 8 4
x=1ni=1kxini=11003*5+5*12+7*16+9*22+11*18+13*15+15*8+17*4=48350=9.66
2) Находим выборочную дисперсию, используя универсальную формулу ее вычисления σx2=x2-x2. Имеем:
x2=1ni=1kxi2ni=110032*5+52*12+72*16+92*22+112*18+132*15+152*8+172*4=5295=105.8
σx2=x2-x2=105.8-9.662=12.484
3) Находим исправленную выборочную дисперсию:
s2=nn-1*σx2=100100-1*12.484≈12.611
4) Находим выборочное с.к.о
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
