Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n=250

Перейдем к дискретному вариационному ряду, приняв за варианты середины интервалов:
xi
75 85 95 105 115 125
ni
20 40 50 80 35 25
Несмещенной оценкой генеральной средней (математического ожидания) служит выборочная средняя
Выборочная средняя:
x=1n∙i=16xi∙ni=75∙20+85∙40+95∙50+105∙80+115∙35+125∙25250=
=25200250=100,8
Выборочная дисперсия:
DВ=1n∙i=16xi2∙ni-x2=
=752∙20+852∙40+952∙50+1052∙80+1152∙35+1252∙25250-100,82=
=2588250250-10160,64=10353-10160,64=192,36
Несмещенной оценкой генеральной дисперсии является «исправленная дисперсия»
Исправленная выборочная дисперсия:
S2=nn-1∙DВ=250249∙192,36=193,13
Исправленное среднеквадратическое отклонение:
s=S2=193,13≈13,9
Доверительный интервал для математического ожидания:
x-tγ∙sn<a<x+tγ∙sn
tγ найдем исходя из того, что:
2Фtγ=γ => Фtγ=0,495 => tγ=2,58
tγ∙sn=2,58∙13,9250≈2,27
100,8-2,27<a<100,8+2,28
98,53<a<103,08
Доверительный интервал для среднеквадратического отклонения:
s1-q<σ<s1+q
По таблице значений: q0,99;250=0,12
13,9∙0,88<σ<13,9∙1,12
12,232<σ<15,568
Выдвинем гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности с параметрами: a≈x=100,8, σ≈s=13,9
Вычислим теоретические частоты попадания в интервал по формуле:
ni'=pi∙n, pi=pxi<x<xi+1=Фxi+1-aσ-Фxi-aσ
Составим расчетную таблицу:
xi
xi+1
xi-aσ
xi+1-aσ
Фxi-aσ
Фxi+1-aσ
pi
ni'
70 80 -2,216 -1,496 -0,487 -0,433 0,054 13,5
80 90 -1,496 -0,777 -0,433 -0,281 0,152 38
90 100 -0,777 -0,058 -0,281 -0,023 0,258 64,5
100 110 -0,058 0,662 -0,023 0,246 0,269 67,25
110 120 0,662 1,381 0,246 0,416 0,17 42,5
120 130 1,381 2,101 0,416 0,482 0,066 16,5
Вычислим значение статистики χнабл2 по формуле:
χнабл2=i=16(ni-ni')2ni'
Составим расчетную таблицу:
ni
ni'
ni-ni'
(ni-ni')2
(ni-ni')2ni'
20 13,5 6,5 42,25 3,13
40 38 2 4 0,11
50 64,5 -14,5 210,25 3,26
80 67,25 12,75 162,56 2,42
35 42,5 -7,5 56,25 1,32
25 16,5 8,5 72,25 4,38
14,62
χнабл2=14,62
По таблице критических значений χ2 при уровне значимости α=0,05 и числу степеней свободы k=6-2-1=3, находим:
χкрит20,05;3=7,81
Так как χнабл2>χкрит2, то гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности отвергается.