Исследовать заданные функции методами дифференциального исчисления

Область определения функции.
Dy=(-∞;+∞).
Это значит, что функция непрерывна на всей числовой прямой и ее график не имеет вертикальных асимптот.
Четность/нечетность функции
Найдем y(-x).
y-x=13-x3--x2-3-x+2=-13x3-x2+3x+2
y-x≠yx и y-x≠-yx следовательно, функция не является четной или нечетной.
Интервалы возрастания, убывания функции и точки ее экстремума
Найдем производную функции.
y'=13x3-x2-3x+2'=x2-2x-3
Приравняем производную к 0.
y'x=0
x2-2x-3=0
По теореме Виета найдем корни уравнения.
x1+x2=2x1×x2=-3 x1=3x2=-1
Получили критические точки x1=3,x2=-1 .
Отложим полученные значения на числовой прямой и определим знаки производной:
14389101720850031292801733550035363153467102101215347345755015347345y'x+–+
yx15240825500-13
Функция возрастает на интервале x=-∞;-1∪[3; +∞).
Функция убывает на интервале x=[-1;3].
Точка x=3 является точкой минимума функции.
ymin=y3=13×33-32-3×3+2=-7
Точка x=-1 является точкой максимума функции.
ymax=y-1=13×(-1)3--12-3×(-1)+2=173
Получим:
М (–1; 173) – точка максимума;
N (3; –7) – точка минимума.
Интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции
Найдем вторую производную функции.
y''=x2-2x-3'=2x-2
Приравняем производную к 0.
y''x=0
2x-2=0
x=1
Разделим всю область определения на интервалы и определим знаки производной на каждом промежутке.:
223710517369700y''x–+
2977515908050011607809652000yx152408255001
Функция выпукла на интервале (-∞;1) и вогнута на интервале (1;+∞)
Точка x=1 – точка перегиба.
Асимптоты.
Как мы уже выяснили, вертикальных асимптот нет.
Проверим, есть ли наклонные асимптоты.
Для определения параметров уравнения асимптоты y=kx+b воспользуемся формулами:
k=limx→∞f(x)x, b=limx→∞(fx-kx)
Получим:
k=limx→∞13x3-x2-3x+2x=limx→∞13x2-x-3+2x=∞
Таким образом, у графика заданной функции наклонных асимптот нет.
Построим график, учитывая все условия.
35665502372311189484048934037591512389212N (3; –7)
00N (3; –7)
1775460131005М (–1; 173)
00М (–1; 173)
2253908399066431561179390