Исследовать заданные функции методами дифференциального исчисления

Область определения функции.
x-1≠0
x≠1
Dy=-∞;1∪(1;+∞).
Исследование на непрерывность и классификация точек разрыва.
Исследуем на непрерывность точку x=1.
Найдем односторонние пределы:
limx→1-0fx=limx→1-0x2x-1=1-01-0-1=1-0=-∞
limx→1+0fx=limx→1+0x2x-1=1+01+0-1=1+0=+∞
Односторонние пределы бесконечны, значит, функция fx терпит разрыв 2-го рода в точке x=1.
Точка x=1 является вертикальной асимптотой.
Четность/нечетность функции
Найдем y(-x).
y-x=-x2-x-1=x2-x-1
y-x≠yx и y-x≠-yx следовательно, функция не является четной или нечетной.
Интервалы возрастания, убывания функции и точки ее экстремума
Найдем производную функции.
y'=x2x-1'=x2'x-1-x2x-1'(x-1)2=2xx-1-x2(x-1)2=x2-2x(x-1)2
Приравняем производную к 0.
y'x=0
x2-2x(x-1)2=0
x2-2x=0
xx-2=0
x=0 и x=2
Отложим полученные значения на числовой прямой и определим знаки производной:
35363153467102101215347345755015347345316103021463000134810521018500y'x+–+
yx1524082550002
Следовательно, функция возрастает на промежутке -∞;0∪(2; +∞) и убывает на промежутке 0;2.
В точке x=0 функция достигает максимума:
y0=020-1=0
В точке x=2 функция достигает минимума:
y2=222-1=4
Получим:
М (0; 0) – точка максимума;
N (2; 4) – точка минимума.
Интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции
Найдем вторую производную функции.
y''=x2-2x(x-1)2'=x2-2x'(x-1)2-x2-2x(x-1)2'(x-1)4=
=2x-2x-12-2x-1x2-2xx-14=
=(x-1)(2x2-2x-2x+2-2x2+4x)x-14=2x-13
Приравняем производную к 0.
y''x=0
2x-13=0
Так как , то график заданной функции точек перегиба не имеет