В таблице приведен статистический ряд распределения случайной величины Х

Статистический ряд:
xi 3,4 – 3,6 3,6 – 3,8 3,8 – 4,0 4,0 – 4,2 4,2 – 4,4 ∑
mi 9 24 119 43 5 200
Объем выборки n = 200.
Длина частичного интервала h = 0,2.
а)
Для каждого интервала определим его серединное значение xi.
Определим выборочное среднее и вычислим центральные эмпирические моменты 2, 3 и 4 порядков.
Результаты вычислений оформим в виде таблицы.
Интервал xi mi xi mi
3,4 – 3,6 3,5 9 31,5 1,44 -0,576 0,2304
3,6 – 3,8 3,7 24 88,8 0,96 -0,192 0,0384
3,8 – 4,0 3,9 119 464,1 0 0 0
4,0 – 4,2 4,1 43 176,3 1,72 0,344 0,0688
4,2 – 4,4 4,3 5 21,5 0,8 0,32 0,128
∑ 200 782,2 4,92 -0,104 0,4656
μk 0,0246 -0,00052 0,002328
Выборочное среднее:
.
Центральный эмпирический момент порядка k:
.
Выборочная дисперсия:
.
Выборочное среднее квадратическое отклонение
.
Выборочный коэффициент асимметрии:
.
Выборочный коэффициент эксцесса:
.
Выборочный коэффициент вариации:
.
б)
Предположим, что исследуемая случайная величина распределена по нормальному закону.
Проверим гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности с помощью критерия согласия χ2.
В качестве параметров нормального распределения возьмем:
; .
Пронормируем частичные интервалы, выразив их в единицах среднего квадратического отклонения s:
.
Интервал mi Нормированный
интервал Ф(ui) Ф(ui+1)
3,4 – 3,6 9 (-∞; -1,91) -0,5 -0,4719 0,0281
3,6 – 3,8 24 (-1,91;-0,64) -0,4719 -0,2389 0,233
3,8 – 4,0 119 (-0,64; 0,64) -0,2389 0,2389 0,4778
4,0 – 4,2 43 (0,64; 1,91) 0,2389 0,4719 0,233
4,2 – 4,4 5 (1,91;+∞) 0,4719 0,5 0,0281
∑ 200
Теоретические вероятности вычисляем по формуле:
, где
– интегральная функция Лапласа.
Теоретические частоты находим по формуле: mi’=n·рi..
mi’ mi mi- mi’
5,62 9 3,38 2,03
46,6 24 -22,6 10,96
95,56 119 23,44 5,75
46,6 43 -3,6 0,28
5,62 5 -0,62 0,07
Σ 200
χ2расч