Исследовать устойчивость и характер переходного процесса системы. y1=y2y2=(2-ψ)y1

Система описывается дифференциальным уравнением 2-го порядка. Такое уравнение можно представить в виде системы уравнений (y1=y, y2=y1):
y1=y2y2=(2-ψ)y1
Изменение значения нелинейной функции происходит при условии изменения знака следующего выражения:
y1*(y2+0.5y1)
То есть одна из линий переключения будет совпадать с осью у2.
Запишем уравнение второй линии переключения:
y2+0.5y1=0
y2=-0.5y1
Эти линии будет делить фазовую плоскость на 4 области (рис.1.1) .
Найдем уравнение фазовых траекторий, решив систему:
y1=y2y2=(2-ψ)y1
Разделив уравнение (2) на выражение (1), получим дифференциальное уравнение фазовых траекторий:
dx2dx1=(2-ψ)x1x2
x2dx2=(2-ψ)x1dx1
Проинтегрируем полученное выражение:
x222=2-ψ2x12+C
Или:
x222-(2-ψ)2x12=C
Причем фазовые траектории областей 1 и 3 будут описываться системой:
x222+32x12=C
А фазовые траектории областей 2 и 4:
x222-52x12=C
Для построения фазового портрета решим воспользуемся пакетом MathCad:
Рис