Исследовать сходимость числовых рядов n=1∞2n+1∙(n3+1)n+1!

По признаку Даламбера:
limn→∞an+1an=q
Ряд сходится если q < 1, ряд расходится если q > 1, признак не даёт ответа о сходимости при q =1.
an=2n+1∙(n3+1)n+1!
an+1=2n+2∙((n+1)3+1)n+2!
limn→∞an+1an=limn→∞2n+2∙((n+1)3+1)n+2!2n+1∙(n3+1)n+1!=limn→∞2n+1∙2∙(n+13+1)∙n+1!n+1!n+2∙2n+1∙(n3+1)=limn→∞2∙(n+13+1)n+2(n3+1)=limn→∞2n3+6n2+6n+4n4+2n3+n+2=:n4=limn→∞2n+6n2+6n3+4n41+2n+1n3+2n4=limn→∞01=0<1
Ответ: ряд сходится по признаку Даламбера.