Исследовать сходимость числового ряда n=1∞2nn2

N=1∞2nn2
Поскольку данный ряд имеет положительные члены, то исследовать его на сходимость можем с помощью признака Даламбера
limn→+∞an+1an=A
Если A<1- ряд сходящийся, A>1- ряд расходящийся, при A=1 следует использовать другие признаки сходимости рядов
an=2nn2;an+1=2n+1(n+1)2
an+1an=2n+1(n+1)2∙n22n=2n∙2∙n2n2+2n+1∙2n=2n2n2+2n+1
limn→+∞an+1an=limn→+∞2n2n2+2n+1=∞∞=limn→+∞2n2n2n2+2n+1n2=
=limn→+∞2n2n2+2nn2+1n2=limn→+∞21+2n+1n2=2>1
(при n→+∞: 2n→0;1n2→0)
Исследуемый ряд расходится 
Ответ: расходится