Исследовать ряды на сходимость n=1∞(-1)n∙5nn2+1

Это знакочередующийся ряд.
an=(-1)n∙5nn2+1
Найдем предел модуля общего члена ряда:
limn→∞an=limn→∞5nn2+1=Разделим числитель и знаменательна n2=limn→∞5n1+1n2=01=0
При этом, начиная с n=5 стремление к нулю происходит монотонно:
2526>3037>3550>4065>…
По признаку Лейбница ряд сходится.
Исследуем на сходимость ряд, составленный из модулей исходного ряда:
n=1∞bn=n=1∞5nn2+1
Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом:
n=1∞cn=n=1∞1n
limn→∞bncn=limn→∞5n2n2+1=Разделим числитель и знаменательна n2=limn→∞51+1n2=5
Получили конечное, отличное от нуля число, поэтому ряд, составленный из модулей исходного ряда расходится как и гармонический ряд, а исходный ряд сходится условно.