Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость

Это знакочередующийся ряд.
an=(-1)n+1∙2n+1n
Найдем предел модулей общего члена исходного ряда:
limn→∞an=limn→∞2n+1n=limn→∞2+1n=2
Общий член ряда по модулю не стремится к нулю, поэтому по признаку Лейбница ряд расходится.
Это знакочередующийся ряд.
an=(-1)n∙n+53n
Исследуем на сходимость ряд, составленный из модулей исходного ряда:
n=1∞an=n=1∞n+53n
Применим признак Даламбера:
an=n+53n an+1=n+63n+1=13∙n+63n
limn→∞an+1an=13limn→∞n+63n∙3nn+5=13limn→∞n+6n+5=13limn→∞1+1n+5=13<1
По признаку Даламбера ряд, составленный из модулей исходного ряда сходится, а значит, исходный ряд сходится абсолютно.
Исследуем на сходимость ряд, составленный из модулей исходного ряда:
an=sinn3n3+1 an=sinn3n3+1
Исследуем на сходимость ряд:
n=1∞bn=n=1∞1n3+1
Сравним данный ряд со сходящимся обобщенно гармоническим рядом, с показателем степени α=3
limn→∞1n31n3+1=limn→∞n3+1n3=limn→∞1+1n3=1
Получили конечное, отличное от нуля число, значит, ряд с общим членом bn также сходится.
Так как sinn3≤1, то:
sinn3n3+1≤1n3+1
Значит ряд, составленный из модулей исходного ряда также сходится, а исходный ряд сходится абсолютно.