Исследовать на экстремум функцию z=x-22+2y2-10

Преобразуем функцию:
z=x-22+2y2-10=x2-4x+4+2y2-10=x2+2y2-4x-6
Теперь найдём частные производные первого порядка по каждой из переменных:
∂z∂x=(x2+2y2-4x-6)x'=2x-4
∂z∂y=(x2+2y2-4x-6)y'=4y
Решаем полученную систему уравнений:
2x-4=04y=0→x=2y=0
Получили одну стационарную точку, которая имеет координаты:
M(2;0)
Найдём частные производные второго порядка:
∂2z∂x2=(2x-4)x'=2
∂2z∂y2=(4y)y'=4
∂2z∂x∂y=(2x-4)y'=0
∂2z∂y∂x=4yx'=0
В стационарной точке они имеют эти же значения.
Стационарную точку характеризует следующий определитель:
∆=∂2z∂x2∂2z∂x∂y∂2z∂x∂y∂2z∂y2
Тогда:
∆=2004=2*4-0*0=8-0=8>0
Так как значение данного определителя больше нуля и частная производная по переменной x также больше нуля, делаем вывод, что в точке M(2;0) имеется минимум.
Минимальное значение функции равно:
zM=z2;0=2-22+2*0-10=0+0-10=-10