Исследовать на экстремум функцию z=3xy-x2-4y2+4x-6y-1

Найдем стационарные точки из условия:
∂z∂x=0∂z∂y=0
∂z∂x=3xy-x2-4y2+4x-6y-1x'=3y-2x+4
∂z∂y=3xy-x2-4y2+4x-6y-1x'=3x-8y-6
3y-2x+4=03x-8y-6=0 -2x+3y=-43x-8y=6
Решим систему по формулам Крамера:
∆=-233-8=16-9=7
∆1=-436-8=32-18=14 x=∆1∆=147=2
∆2=-2-436=-12+12=0 y=∆2∆=07=0 M(2;0)
Вычислим вторые производные и их значение в стационарной точке:
∂2z∂x2=3y-2x+4x'=-2 A=∂2z∂x2M=-2
∂2z∂x∂y=3y-2x+4y'=3 B=∂2z∂x∂yM=3
∂2z∂y2=3x-8y-6x'=-8 C=∂2z∂y2M=-8
Вычислим значение выражения:
AC-B2=16-9=7>0
Так как AC-B2>0 и A<0, то в точке M имеется максимум.
zmax=zM=-4+8-1=3