Найти наименьшее и наибольшее значения функции z

∂z∂x=-4x-y=0∂z∂y=-x-2y=0
y=-4x - из 1-го уравнения
-x+8x=0 → x=0
y=0
M1(0;0) – стационарная точка
zM1=3
Найдем критические точки на границах
Найдем наибольшее и наименьшее значения на границе области D.
x=1, 0≤y≤1
z=3-2-y-y2=1-y-y2
z'=-1-2y
z'=0, -1-2y =0
y=-12
M2(1; -12), но эта точка не принадлежит D
Вычислим значения на границах в точках M3(1;0) и M4(1;1)
zM3=3-2=1
zM4=3-2-1-1=-1
y=0, 0≤x≤1
z=3-2x2
z'=-4x
z'=0; -4x=0
x=0
Граничные точки M10;0 и M3(1;0)
zM1=3, zM3=1
y=x, 0≤x≤1
z=3-2x2-x∙x-x2=3-4x2
z'=-8x
z'=0, -8x=0
x=0
y=0
M10;0
zM1=3
Сравнивая найденные значения функции в точках M1(0; 0), M3(1;0) и M4(1;1), получаем
zнаим=-1 в точке M41;1
zнаиб=3 в точке M10;0
Ответ: zнаим=-1 в точке M41;1
zнаиб=3 в точке M10;0