Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и построить её график

Проведем исследование заданной функции
Область определения функции
Так как функция представляет собой дробь, нужно найти нули знаменателя
ex-1=0, ex=1, x=0
Исключаем единственную точку x=0 из области определения функции и получаем
Dy=-∞;0∪0;+∞
Четность функции
y-x=1e-x-1≠±yx
Значит, функция общего вида
Точки пересечения кривой с осями координат
С осью Oy пересечений нет, так как x=0 – точка, не принадлежащая области определения данной функции.
Ox: 1ex-1=0, ex-1≠01=0⟹∅
пересечений с осью Ox нет.
Асимптоты
Исследуем поведение функции в окрестности точки разрыва . Найдем односторонние пределы
limx→0-1ex-1=-∞
limx→0+1ex-1=∞
Так как пределы равны бесконечности, точка x=0 является разрывом второго рода, прямая x=0 – вертикальная асимптота.
Наклонная асимптота
y=k∙x+b
k=limx→∞yx=limx→∞1ex-1x=limx→∞1x∙ex-1=limx→∞1x∙limx→∞1ex-1=0∙0=0
b=limx→∞y-k∙x=limx→∞1ex-1-0∙x=limx→∞1ex-1=0
Получаем наклонную асимптоту
y=0∙x+0=0
Найдем экстремумы и определим монотонность функции
y'=1ex-1'=0∙ex-1-1∙ex-0ex-12=0-exex-12=-exex-12<0
Так как значение производной в любой точке меньше нуля, то наша функция убывает на всей области определения.
Выпуклость и точки перегиба
y''=-exex-12'=-ex∙ex-12-ex∙2∙ex-1∙ex-0ex-14=-ex∙ex-1-ex∙2∙exex-13=-ex∙ex-1-2∙exex-13=
=-ex∙-1-exex-13=ex∙ex+1ex-13=0, x=0
Исследуем знак производной на интервалах, на которые критическая точка делит области определения функции