Исследовать числовые ряды на сходимость

Для исследования сходимости, применим радикальный признак Коши:
an=n+12+3n2n+4
limn→∞nan=limn→∞nn+12+3n2n+4=limn→∞n+12+3n2+4n=limn→∞1+1n2n+32+4n=132=19
limn→∞nan<1
По радикальному признаку Коши ряд сходится.
Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом:
an=3n(2n+5)2 bn=1n
limn→∞bnan=limn→∞(2n+5)23n2=limn→∞4n2+20n+253n2=limn→∞43+203n+253n2=43
Получили конечное, отличное от нуля число, поэтому исходный ряд также расходится
Для исследования сходимости, применим признак Даламбера:
an=n!3nn+1! an+1=(n+1)!3n+1n+2!=n!(n+1)3∙3nn+1!(n+2)
limn→∞an+1an=limn→∞n!(n+1)3∙3nn+1!(n+2)∙3nn+1!n!=13limn→∞(n+1)(n+2)=
=13limn→∞n+2-1n+2=13limn→∞1-1n+2=13
limn→∞an+1an=13<1
По признаку Даламбера ряд сходится.