Исследовать заданные функции методами дифференциального исчисления и начертить их графики

Найдем область определения функции.
Поскольку функция представляет собой рациональную дробь, то она определена и непрерывна всюду, за исключением точек x 0 , в которых обращается в нуль знаменатель, т.е.
Dy=xx∈-∞;0∪0;+∞.
Найдем точки пересечения графика с осями координат.
График функции yx2+9x не пересекается с осями координат.
3) Определим четность / нечетность функции.
Функция нечетная, так как
fxx2+9x; f-x-x2+9-x =-x2+9x =-fx.
4) Найдем асимптоты графика функции.
Так как
limx→0+0x2+9x=+∞;limx→0-0x2+9x=-∞,
то график имеет вертикальную асимптоту x=0.
Найдем наклонные асимптоты y kx b при x :
k=limx→∞f(x)x=limx→∞x2+9xx=limx→∞x2+9x2=limx→∞1+9x2 =1
b=limx→∞f(x)-kx=limx→∞x2+9x-x=limx→∞x2+9-x2x2 =limx→∞9x2 =0 .
график имеет наклонную асимптоту y x.
5) Найдем первую производную функции:
y'x2+9x'=x2+9'∙x-x2+9∙x' x2=2x2-x2-9x2 =
=x2-9 x2.
Найдем критические точки (нули производной), решив уравнение
y 0 :
x2-9x2 =0=>x2-9=0=>x=-3 или x=3.
Получаем следующие области сохранения знака f'x и, соответственно, интервалы возрастания и убывания функции:
x (-∞;-3)
-3 (-3;0)
0 (0;3)
3 (3;+∞)
Знак f'x
+ 0 - не сущ
- 0 +
fx
-355609969400 -6 73025742950041973508191500 не сущ
-349258064500 6 1631957111900
Из приведенной таблицы легко видеть, что функция имеет точки экстремума:
x -3 − точка максимума, так как при переходе через эту точку слева направо производная y меняет знак с « » на« »;
ymax -3=-32+93 -6
x 3 − точка минимума, так как при переходе через эту точку слева направо производная y меняет знак с « »на« »;
ymin 3=32+93 6
6) Вычислим вторую производную функции:
y'=x2-9 x2'=1-9 x2'=18x3
Точек перегиба нет.
При -∞<x<0 имеемy''<0; следовательно, график функции выпуклый;
При 0<x<+∞ имеем y''>0; следовательно, график функции вогнут.
График заданной функции на основе обобщения результатов всех предыдущих исследований имеет вид, представленный на рисунке: