Исследовать ряд на сходимость n=1∞arctg1nn+2*lnn+1

Используем первый признак сравнения.
Сравним данный ряд с рядом n=1∞1n+1lnn+1 который расходится.
Применим интегральный признак сходимости Коши. Для данного ряда рассмотрим fx=1x+1lnx+1 . Вычислим несобственный интеграл:
1∞dxx+1lnx+1=limx→∞1bdxx+1lnx+1=limb→∞lnlnx+11b=limb→∞lnlnb+1-lnln1+1=∞
Следовательно, несобственный интеграл расходится, значит, исследуемый ряд n=1∞1n+1lnn+1 расходится.
limn→∞anbn=limn→∞arctg1nn+2*lnn+11n+1lnn+1=limn→∞arctg1n*n+1lnn+1n+2*lnn+1=limn→∞arctg1n*n+1n+2=arctg1n~1n=limn→∞1nn+1n+2=limn→∞n+1nn+2=1
Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд расходится вместе с рядом  n=1∞1n+1lnn+1.