Исследовать на сходимость ряд используя радикальный признак Коши

Применим радикальный признак Коши:
limn→∞nan=limn→∞nn∙arcsinn13n=limn→∞arcsin13n∙nn=arcsin13n~13n=13limn→∞n1n-1=
=13∙elimn→∞lnn1n-1=13∙elimn→∞1-nlnnn=по правилу Лопиталя=13∙elimn→∞1-nlnn'n'=
=13∙elimn→∞-lnn+1-nn1=13∙elimn→∞-lnn+1n-1=13∙e-∞=0<1.
Следовательно, по признаку Коши исходный ряд сходится.
Ответ: сходится.