Исследовать на сходимость ряд а) n=1∞n!3n!

N=1∞n!3n!
an=n!3n!
an+1=n+1!3n+1!=n+1!3n+3!
Используем признак сходимости Даламбера:
limn→∞an+1an=limn→∞n+1!3n+3!n!3n!=limn→∞n+1!*3n!3n+3!*n!=limn→∞133n+13n+2=0<1
Следовательно, ряд сходится.
б) n=1∞n+12n-3n2
Используем радикальный признак сходимости Коши:
limn→∞nan=limn→∞nn+12n-3n2=limn→∞n+12n-3n=limn→∞12+54n-6n=0<1
Следовательно, ряд сходится
в) n=1∞-1n-1n+1*22n
Используем признак Лейбница.
1) n=1∞-1n-1n+1*22n=18-148+1256-11280+…
Ряд является знакочередующимся.
2) limn→+∞an=limn→+∞1n+1*22n=0члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий, значит, убывание монотонно.
Ряд сходится по признаку Лейбница.
Исследуем ряд на абсолютную сходимость:
n=1∞an=n=1∞1n+1*22n
an=1n+1*22n
an+1=1n+1+1*22n+1=1n+2*22n+2
Используем признак сходимости Даламбера:
limn→∞an+1an=limn→∞1n+2*22n+21n+1*22n=limn→∞n+1*22nn+2*22n+2=limn→∞n+1*22nn+2*22n*22=limn→∞n+1n+2*22=14<1
Следовательно, ряд сходится абсолютно.