Исследовать на экстремум функцию fx y=x2-2xy-y3+7y2+8x+55y+4

Найдем критические точки из системы уравнений:
∂z∂x=0∂z∂y=0
∂z∂x=y=const=(x2-2xy-y3+7y2+8x+55y+4)x'=2x-2y+8
∂z∂y=x=const=(x2-2xy-y3+7y2+8x+55y+4)y'=-2x-3y2+14y+55
2x-2y+8=0-2x-3y2+14y+55=0 -2x=-2y+8-2y+8-3y2+14y+55=0
x=y-4-3y2+12y+63=0
Решим второе уравнение:
-3y2+12y+63=0
y2-4y-21=0
D=16+84=100
y1=4-102=-3 y2=4+102=7
x1=-7 x2=3
Получили две критические точки:
M1-7;-3 M2=(3;7)
Вычислим частные производные второго порядка:
∂2z∂x2=2x-2y+8x'=2
∂2z∂y2=-2x-3y2+14y+55y'=-6y+14
∂2z∂x∂y=(-2x-3y2+14y+55)x'=-2
Вычислим значение частных производных второго порядка в критических точках:
M1-7;-3
A=∂2z∂x2M1=2 C=∂2z∂y2M1=32 B=∂2z∂x∂yM1=-2
Вычислим значение выражения:
AC-B2=64-4=60
Так как AC-B2>0 и A>0, то в точке M1 минимум
zmin=zM1=49-42+27+63-56-165+4=-120
M23;7
A=∂2z∂x2M2=2 C=∂2z∂y2M2=-28 B=∂2z∂x∂yM2=-2
Вычислим значение выражения:
AC-B2=-56-4=-60
Так как AC-B2<0, то в точке M2 экстремума нет.
Ответ: zmin=z-7;-3=-120