Исследование простых помехоустойчивых кодов

1. Коды Хэмминга
- для m = 3 – (7;4)
- для m = 4 – (15;11)
- для m = 5 – (31;26)
- для m = 6 – (63;57)
- для m = 7 – (127;120)
Скорость блокового кода
- для m = 3
R=47=0,571;
- для m = 4
R=1115=0,733;
- для m = 5
R=2631=0,839;
- для m = 6
R=5763=0,905;
- для m = 7
R=120127=0,945.
Вероятность ошибки декодирования
pe=nq
2. Код Хэмминга (15,11).
Длина данного кода n = 15 бит, из которых информационных 11 и проверочных 4 . Код будет иметь вид
b1
b2
b3
b4
b5
b6
b7
b8
b9
b10
b11
b12
b13
b14
b15
k1
k2
a1
k3
a2
a3
a4
k4
a5
a6
a7
a8
a9
a10
a11
где ki – контрольные биты;
ai – информационные биты.
Составим выражения для определения значений контрольных битов.
Приведем соответствие каждому биту двоичное обозначение
b1
0001 b9
1001
b2
0010 b10
1010
b3
0011 b11
1011
b4
0100 b12
1100
b5
0101 b13
1101
b6
0110 b14
1110
b7
0111 b15
1111
b8
1000
Выражения будут иметь вид
b1⨁b3⨁b5⨁b7⨁b9⨁b11⨁b13⨁b15=0
b2⨁b3⨁b6⨁b7⨁b10⨁b11⨁b14⨁b15=0
b4⨁b5⨁b6⨁b7⨁b12⨁b13⨁b14⨁b15=0
b8⨁b9⨁b10⨁b11⨁b12⨁b13⨁b14⨁b15=0
Из данных выражений получим выражения для контрольных битов
b1=b3⨁b5⨁b7⨁b9⨁b11⨁b13⨁b15
b2=b3⨁b6⨁b7⨁b10⨁b11⨁b14⨁b15
b4=b5⨁b6⨁b7⨁b12⨁b13⨁b14⨁b15
b8=b9⨁b10⨁b11⨁b12⨁b13⨁b14⨁b15
Или
k1=a1⨁a2⨁a4⨁a5⨁a7⨁a9⨁a11
k2=a1⨁a3⨁a4⨁a6⨁a7⨁a10⨁a11
k3=a2⨁a3⨁a4⨁a8⨁a9⨁a10⨁a11
k4=a5⨁a6⨁a7⨁a8⨁a9⨁a10⨁a11
При проверки полученного кодового сообщения значения синдромов определяются по следующим выражениям
s1=b1⨁b3⨁b5⨁b7⨁b9⨁b11⨁b13⨁b15
s2=b2⨁b3⨁b6⨁b7⨁b10⨁b11⨁b14⨁b15
s3=b4⨁b5⨁b6⨁b7⨁b12⨁b13⨁b14⨁b15
s4=b8⨁b9⨁b10⨁b11⨁b12⨁b13⨁b14⨁b15
По значению синдрома s4s3s2s1 определяется наличие и положение одиночной ошибки.