Исследование динамики экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда

Left1096010001. Проверим наличие аномальных наблюдений во временном ряду, используя графический метод, для чего построим график временного ряда, используя мастер диаграмм Excel. Результаты представим на рисунке 19.
Рис.19. График временного ряда
Анализируя график временного ряда, можно заметить отсутствие аномальных наблюдений. Проверим данный факт с помощью аналитического метода, используя критерий Ирвина, для чего строим вспомогательную таблицу 13.
Таблица 13
Вспомогательная таблица для определения критерия Ирвина
№ наблюдение y-y
(y-y)²
λ
1 52,00 -18,80 353,44
2 56,00 - 14,80 219,04 0,36
3 60,00 - 10,80 116,64 0,36
4 58,00 -12,80 163,84 0,18
5 64,00 - 6,80 46,24 0,54
6 68,00 - 2,80 7,84 0,36
7 74,00 3,20 10,24 0,54
8 70,00 - 0,80 0,64 0,36
9 78,00 7,20 51,84 0,73
10 74,00 3,20 10,24 0,36
11 79,00 8,20 67,24 0,45
12 73,00 2,20 4,84 0,54
13 82,00 11,20 125,44 0,82
14 86,00 15,20 231,04 0,36
15 88,00 17,20 295,84 0,18
сумма 1 062,00 0,00 1 704,40
среднее 70,80 0,00 113,63
дисперсия 121,74
σ 11,03
Для заполнения таблицы пользуемся встроенными функциями Excel:
Сумма – «СУММ»;
Среднее – «СРЗНАЧ»;
Дисперсия – «ДИСП»;
Среднеквадратическое отклонение – «КОРЕНЬ» из дисперсии.
Для нахождения критерия Ирвина используем формулу 17.
λ=yi-yi-1σ(y) (17)
Для n = 15 пороговое значение критерия Ирвина не должно превышать λ кр= 1,3.
На основании проведенного анализа, можно сделать вывод об отсутствии аномальных наблюдений, так как ни одно фактическое значение критерия Ирвина не превышает критический уровень. График временного ряда так же подтверждает данное суждение.
2. Проверим наличие во временном ряду тенденции.
Выдвигаем гипотезы:
H0: дисперсии равны; H1: дисперсии неравны. Гипотезу о равенстве дисперсий проверим с помощью пакет анализа Excel «Двухвыборочный F-тест для дисперсии», заполнив форму (рисунок 20).
Делим исходный временной ряд на две примерно равные по числу уровней части: n1=7, n2 =8 (n1+n2=n =15).
Рис.20. Ввод параметров
Результаты представлены в таблице 14.
Таблица 14
Результаты двухвыборочного F-теста для дисперсии
Переменная 1 Переменная 2
Среднее 61,714 78,750
Дисперсия 56,571 40,214
Наблюдения 7,000 8,000
df
6,000 7,000
F 1,407
P(F<=f) одностороннее 0,330
F критическое 3,866
Так как Fрасч = 1,407< Fкр(0,05; 7, 7)=3,866, то c вероятностью 95% нет оснований отвергать нулевую гипотезу. По данным наблюдения дисперсии генеральных совокупностей равны, исправленные выборочные дисперсии различаются незначимо (расхождение между ними величина случайная).
Выдвигаем гипотезы:
H0: средние равны; H1: средние неравны. Далее проверим основную гипотезу о равенстве средних значений с использованием t-критерия Стьюдента, используя пакет анализа Excel «Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями», заполнив форму (рисунок 21).
Рис.21. Ввод параметров
Результаты представлены в таблице 15.
Таблица 15
Результаты двухвыборочного t-тест с одинаковыми дисперсиями
Переменная 1 Переменная 2
Среднее 61,714 78,750
Дисперсия 56,571 40,214
Наблюдения 7,000 8,000
Объединенная дисперсия 47,764
Гипотетическая разность средних -
df
13,000
t-статистика -4,763
P(T<=t) одностороннее 0,000
t критическое одностороннее 1,771
P(T<=t) двухстороннее 0,000
t критическое двухстороннее 2,160
Так как tрасч = -4,763 > tкр (0,05; 15)= 2,160, то c вероятностью 95% можно отвергать нулевую гипотезу о равенстве средних, расхождение между вычисленными средними незначимо . Отсюда вывод: тренд присутствует.
3. Построим трендовые модели, используя средства Excel.
Построим линейную модель. Расчет параметров линейной модели осуществим с помощью пакета анализа Microsoft Excel. Выполняем следующие этапы «Данные → Анализ данных → Регрессия» и заполняем необходимые поля диалогового меню.
right614680Результаты построения парной линейной регрессии представлены на рисунке 22.
Рис.22. Вывод итогов регрессии
Таким образом, уравнение линейной модели имеет вид: y = 51,857 + 2,368 ×x1.
Построим логарифмическую модель вида: y = a + b *Ln(х). Для нахождения параметров логарифмического уравнения проводим преобразования исходных данных (таблица 16).
Таблица 16
Вспомогательная таблица для построения логарифмической модели
№ (х) наблюдение (у) Ln(x)
1 52,00 -
2 56,00 0,6931
3 60,00 1,0986
4 58,00 1,3863
5 64,00 1,6094
6 68,00 1,7918
7 74,00 1,9459
8 70,00 2,0794
9 78,00 2,1972
10 74,00 2,3026
11 79,00 2,3979
12 73,00 2,4849
13 82,00 2,5649
14 86,00 2,6391
15 88,00 2,7081
right564515Результаты построения логарифмической модели представлены на рисунке 23.
Рис.23. Вывод итогов регрессии
Таким образом, уравнение логарифмической модели имеет вид: y = 46,36 + 13,14 *Ln(x).
Построим степенную модель вида: y = a + xb. Для нахождения параметров степенного уравнения проводим преобразования исходных данных (таблица 17).
Таблица 17
Вспомогательная таблица для построения степенной модели
№ (х) наблюдение (у) Ln(x) Ln(у)
1 52,00 - 3,9512
2 56,00 0,6931 4,0254
3 60,00 1,0986 4,0943
4 58,00 1,3863 4,0604
5 64,00 1,6094 4,1589
6 68,00 1,7918 4,2195
7 74,00 1,9459 4,3041
8 70,00 2,0794 4,2485
9 78,00 2,1972 4,3567
10 74,00 2,3026 4,3041
11 79,00 2,3979 4,3694
12 73,00 2,4849 4,2905
13 82,00 2,5649 4,4067
14 86,00 2,6391 4,4543
15 88,00 2,7081 4,4773
163771307709Результаты построения степенной модели представлены на рисунке 24.
Рис.24. Вывод итогов регрессии
Находим параметр a, как e3,886=48,709, используя встроенную функцию Excel «EXP».
Таким образом, уравнение степенной модели имеет вид: y = 48,709 × x0,195.
Построим экспоненциальную модель вида: y =ea+b×x. Для нахождения параметров экспоненциального уравнения проводим преобразования исходных данных (таблица 18).
Таблица 18
Вспомогательная таблица для построения экспоненциальной модели
№ (х) наблюдение (у) Ln(у)
1 52,00 3,9512
2 56,00 4,0254
3 60,00 4,0943
4 58,00 4,0604
5 64,00 4,1589
6 68,00 4,2195
7 74,00 4,3041
8 70,00 4,2485
9 78,00 4,3567
10 74,00 4,3041
11 79,00 4,3694
12 73,00 4,2905
13 82,00 4,4067
14 86,00 4,4543
15 88,00 4,4773
142506584156Результаты построения экспоненциальной модели представлены на рисунке 25.
Рис.25