Используя основную теорему Коши (для односвязной и многосвязной области)

Находим особые точки, как нули знаменателя:
z+23z=0 z1=0;z2=-2
В замкнутой области, ограниченной окружностью z-2=1 находится только одна особая точка z=0 . Перепишем интеграл в виде:
z-2=1 dzz+23z=z-2=1 1z+23zdz
Функция fz= 1z+22 является аналитической в заданной области, применяем интегральную формулу Коши:
fz0=12πiC fzz-z0dz
Тогда:
z-2=1 dzz+23z=2πi1z+23z=0=iπ4