Исходные данные (см. Приложение 1) представляют собой двумерную выборку , . По выборке необходимо построить парную линейную регрессию и оценить качество построенной модели.
Порядок выполнения работы:
Для заданных исходных данных постройте поле корреляции — диаграмму зависимости показателя от фактора . При построении выберите тип диаграммы «Точечная» (без отрезков, соединяющих точки).
Вычислите коэффициенты выборочной линейной регрессии вручную.
Запишите найденное уравнение эмпирической регрессии. Дайте интерпретацию коэффициенту в рамках Вашей задачи. Вычислите по уравнению эмпирической регрессии значения , .
Постройте на корреляционном поле прямую выборочной линейной регрессии по точкам , . (При построении выберите тип диаграммы «Точечная», на которой значения соединены отрезками.)
Найдите величину средней ошибки аппроксимации . Прокомментируйте полученное значение.
Вычислите коэффициент детерминации непосредственно по формуле:
Используя построенную модель, рассчитайте значение зависимой переменной при значении фактора , на 10% превышающего среднее значение .
На основании проведенного выше анализа адекватности модели сделайте вывод о правдоподобности прогноза.
Используя опцию Excel «Добавить линию тренда», проверьте свои вычисления и построение графика прямой регрессии.
Вариант №10
В таблице представлены данные, собранные по 15 однотипным предприятиям отрасли, показывающие взаимосвязь между объемом продукции (Х) и себестоимостью продукции (Y).
Х 200 200 300 300 400 450 500 550 600 600
Y 170 160 150 160 140 140 150 140 140 150
Решение
Построим поле корреляции.
Расположение точек на диаграмме дает нам право предположить, что переменные связаны линейной зависимостью. Для оценки параметров линейной регрессии используется метод наименьших квадратов (МНК).
Для этого проведем промежуточные вычисления и поместим результаты вычислений в таблицу:
№
1 200 170 34000,00 40000,00 28900,00
2 200 160 32000,00 40000,00 25600,00
3 300 150 45000,00 90000,00 22500,00
4 300 160 48000,00 90000,00 25600,00
5 400 140 56000,00 160000,00 19600,00
6 450 140 63000,00 202500,00 19600,00
7 500 150 75000,00 250000,00 22500,00
8 550 140 77000,00 302500,00 19600,00
9 600 140 84000,00 360000,00 19600,00
10 600 150 90000,00 360000,00 22500,00
Сумма 4100 1500 604000,00 1895000,00 226000,00
.
QUOTE В случае линейной регрессии параметры и QUOTE находятся из следующей системы нормальных уравнений МНК:
Составляем систему уравнений:
и решаем ее по формулам Крамера:
Тогда, согласно теореме Крамера,
2. Получаем уравнение регрессии:
Величина коэффициента регрессии означает, что увеличение показателя объема продукции на 1 ед. приведет к уменьшению показателя себестоимости продукции в среднем на 0,05 ед
. Коэффициент в данном случае не имеет содержательной интерпретации.
3.Нанесем построенную линию регрессии на диаграмму. Для этого рассчитаем значения , , по формуле:
Результаты вычислений запишем в таблицу:
№
1 200 170 160,79
2 200 160 160,79
3 300 150 155,65
4 300 160 155,65
5 400 140 150,51
6 450 140 147,94
7 500 150 145,37
8 550 140 142,80
9 600 140 140,23
10 600 150 160,79
Наносим на диаграмму точки из последнего столбца таблицы (Линия регрессии):
4. Для оценки тесноты линейной зависимости рассчитаем коэффициент детерминации. Для этого необходимо провести ряд дополнительных вычислений.
Прежде всего, найдем выборочное среднее по формуле:
Теперь произведем расчет остальных вспомогательных величин:
1 200 170 160,79 9,21 84,74 20,00 400,00
2 200 160 160,79 -0,79 0,63 10,00 100,00
3 300 150 155,65 -5,65 31,97 0,00 0,00
4 300 160 155,65 4,35 18,89 10,00 100,00
5 400 140 150,51 -10,51 110,54 -10,00 100,00
6 450 140 147,94 -7,94 63,11 -10,00 100,00
7 500 150 145,37 4,63 21,40 0,00 0,00
8 550 140 142,80 -2,80 7,86 -10,00 100,00
9 600 140 140,23 -0,23 0,05 -10,00 100,00
10 600 150 140,23 9,77 95,38 0,00 0,00
Сумма 4100 1500 0,00 434,58 1000,00
Для вычисления коэффициента детерминации воспользуемся формулой:
Значение коэффициента детерминации позволяет сделать предварительный вывод о том, что у нас имеются основания использовать модель линейной регрессии в данной задаче, поскольку .
5
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
