Исходные данные:
Р1 = 4 кН, Р2 = 6 кН, Р3 = 9 кН, q = 4 кН/м, а = 1,0 м, b =1,4 м, с = 1,2 м.
Требуется:
- построить эпюры изгибающих и крутящих моментов, продольных и поперечных сил;
- определить положение опасного сечения и, пользуясь энергетической гипотезой прочности формоизменения, подобрать размеры сечений брусьев двух типов:
а) трубчатого с отношением диаметров d/D=0,8 (d-внутренний диаметр, D- наружный диаметр);
б) прямоугольного с отношением сторон h/b=2 (h-большая, b-меньшая сторона прямоугольника).
Допустимое напряжение принять [σ] =100МПа
- для прямоугольного сечения построить эпюры нормальных напряжений σ1, σ2, σ3, соответственно от продольной силы N и моментов Mx, My и эпюры касательных напряжений τ1, τ2, τ3 от поперечных сил Qx, Qy и крутящего момента Mx.
Указать опасную точку сечения.
Решение
Находим опорные реакции в жесткой заделке А, для чего составляем 6-ть уравнений равновесия:
ΣFix = 0, XA - P3 = 0, XA = P3 = 9,0 кН,
ΣFiу = 0, YA - P2 - q·a = 0, YA = P2 + q·a = 6 + 4·1,0 = 10,0 кН,
ΣFiz = 0, ZA- P1 = 0, ZA = P1 = 4,0 кН,
ΣMx = 0, MAx + P1·c - P2·b - q·a· b = 0, MAx = - P1·c + P2·b + q·a· b = - 4·1,2 +
+ 6·1,4 + 4·1,0·1,4 = 9,2 кН·м,
ΣMY = 0, MAy = 0,
ΣMZ = 0, -MAz + P3·c - P2·a - q·a2/2 =0, MAz = P3·c - P2·a - q·a2/2 = 9·1,2 - 6·1,0 -
- 4·1,02/2 = 2,8 кН·м.
Строим на каждом из 4-х участков стержня, эпюры изгибающих и крутящих моментов, продольной и поперечных сил, для чего нумеруем участки и для каждого участка строим координатные оси, используя скользящую систему координат, в которой ось Х всегда направлена вдоль оси стержня.
Участок I (ЕD):
N = 0 = const,
QZ = P1 = 4 кН = const, следовательно QЕ = QD = 4 кН
QY = - q·x1 - уравнение наклонной прямой. QE = q·0, QD = q·a = - 4,0·1,0 = -4,0 кН.
T1 = 0 = const,
МY = P1·x1 - уравнение наклонной прямой. ME = P1·0, MD = P1·a = 4,0·1,0 =
= 4,0 кН·м
МZ = q·x22/2 - уравнение параболы. ME = q·02/2 = 0, MD = 4,0·1,02/2 = 2,0 кН·м
Участок II (DC):
N = P1 = 4 кН = const,
QZ = 0,
QY = q·а + P2 = 4,0·1,0 + 6,0 = 10 кН= const, следовательно QD = QC = 10 кН
T2 = q·а2/2 = 4,0·1,02/2 = 2,0 кН·м
МY = P2·x2 + q·а·x2 - уравнение наклонной прямой. MD = P2·0 + q·а·0 = 0,
MC = P2·b + q·а·b = 6·1,4 + 4·1,0·1,4 = 14.0 кН·м.
МZ = 0 = const.
Участок III (AB):
N = ХА = 9,0 кН = const,
QZ = - ZA = - 4,0 кН = const, следовательно QA = QB = - 4,0 кН
QY = YA = 10,0 кН = const, следовательно QA = QD = 10 кН
Т3 = MAx = 9,2 кН·м,
МY = MAY + ZA·x3 - уравнение наклонной прямой. MА = 0 + ZA·0 = 0.
MВ = MAY + ZA·а = 0 + 4,0·1,0 = 4,0 кН·м
МZ = MAZ + YA·x3 - уравнение наклонной прямой. MА = 2,8 + YA·0 = 2,8 кН·м
MВ = MAZ + YA·a = 2,8 + 10,0·1,0 = 12,8 кН·м
Участок IV (BC):
N = YA = 10,0 кН = const,
QZ = - ZA = - 4,0 кН = const, следовательно QB = QC = - 4,0 кН
QY = - ХА = - 9,0 кН = const, следовательно QB = QC = - 9,0 кН
Т4 = MAY + ZA·a = 0 + 4,0·1,0 = 4,0 кН·м,
МY = MAХ + ZA·x4 - уравнение наклонной прямой
. MВ = 9,2 + ZA·0 = 9,2 кН·м,
MС = MAХ + ZA·с = 9,2 + 4,0·1,2 = 14,0 кН·м.
МZ = - MAZ - YA·a + XA·x4- уравнение наклонной прямой.
MВ = -2,8 - 10,0·1,0 + XA·0 = - 12,8 кН·м.
MC = -2,8 - 10,0·1,0 + 9,0·1,2 = -2,0 кН·м. По полученным результатам строим эпюры.
Правило знаков. Продольная сила N положительна, если стержень растянут, поперечная сила Q имеет нижний индекс, совпадающий с той осью, которой он параллелен, а эпюра строиться на растянутых волокнах. Изгибающие моменты имеют нижний индекс той оси относительной которой происходит изгиб и эпюра строится на сжатых волокнах. Крутящий момент обозначен для отличия от изгибающих моментов как Т с нижним индексом номера участка.
Правильность построения эпюр проверяем с помощью статической проверки равновесия узлов В, С и D, для чего прикладываем к нему продольные, поперечные и внешние силы. На эскизах узлов видно, проекция суммы сил для каждой оси равна нулю, т.е. условие равновесия - выполняется.
Аналогичная проверка производиться и для изгибающих моментов, но так как для каждого из узлов нужно показывать много силовых факторов, а это резко затрудняет восприятие, поэтому изгибающие моменты на них не показаны, но по эпюрам изгибающих моментов можно определить, что они равны по величине и направлены в противоположные стороны, следовательно и для них условие равновесия - верно.
Анализ эпюр показывает, что наиболее опаснымb сечениями являются сечения, непосредственно примыкающее к узлу В на участках АВ и ВС.
Здесь действуют силовые факторы:
а) на участке АВ: Т = 9,2 кН·м, МY = 4,0 кН·м, МZ = 12,8 кН·м, N = 9,0 кН,
QY = 10,0 кН, QZ = 4,0 кH.
б) на участке ВС: Т = 4,0 кН·м, МY = 9,2 кН·м, МZ = 12,8 кН·м, N = 10,0 кН,
QY = 9,0 кН, QZ = 4,0 кH.
Примечание
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
