Исходные данные
m1= 180 кг, m2= 100 кг, m3= 300 кг, R1 = 50 cм, r1= 40 см, R2 = 30 cм, r2= 20 см,
ix1*=302 cм, ix2*=20 cм, М = 2700+200t Н·м, МС = 400 Н·м, ω10 = 0,5с-1, t1=1c.
Определить:
1) закон вращательного движения звена 2;
2) натяжение нитей в момент времени t1.
Ответ
φ2 = 0,67·t + 15,14·t2 +0,73·t3, S1 = 5144 Н, S3 = 5023 Н.
Решение
Рисунок 1. Схема передаточного механизма.
В данной механической системе тел, колеса 1 и 2 вращаются вокруг неподвижных осей, а поднимаемый груз 3 совершает вертикальное поступательное движение.
Напишем дифференциальные уравнения движения каждого из этих трех тел, для чего отделим одно от другого, разрезав трос, удерживающий груз 3 и соединяющий колеса 1 и 2. Каждое из тел изображаем отдельно с приложенными к нему силами.
К колесу 1 механизма приложены сила тяжести G1 = m1·g, движущий момент М, реакция подшипника N1, натяжение нити S1.
К колесу 2 приложены сила тяжести G2 = m2·g, момент сил сопротивления МС, реакция подшипника N2, натяжение нити S´1 и S´3.
К грузу 3 приложены сила тяжести G2 = m3·g и натяжение нити S3.
Очевидно ( на основании закона Ньютона о равенстве действия и противодействия), что: S´1 = -S1 и S´3= - S3.
Составим дифференциальное уравнение движения колеса 1 вокруг оси х1:
Jx1·φ1 = Mx1E, здесь Mx1E= М - S1·r1 - главный момент внешних сил, приложенных к колесу 1, относительно оси вращения х1.
Дифференциальное уравнение вращения движения колеса 1 примет вид:
Jx1·φ1 = М - S1·r1, (1)
Рисунок 2
. Расчетная схема колеса 1.
Составим дифференциальное уравнение движения колеса 2 вокруг оси х2:
Jx2·φ2 = Mx2E, здесь Mx2E= S´1·R2 - МC - S´3·r2 - главный момент внешних сил, приложенных к колесу 2, относительно оси вращения х2.
Дифференциальное уравнение вращения движения колеса 2 примет вид:
Jx2·φ2 = S´1·R2 - МC - S´3·r2, (2)
Рисунок 3. Расчетная схема колеса 2.
Составим дифференциальное уравнение поступательного движения груза 3:
m3·z3= ZE, здесь ZE - проекция главного вектора внешних сил, приложенных к грузу 3, на ось z, направленную в сторону движения груза, т.е. вверх:
ZE = S3 - G3 = S´3 - m3·g.
Дифференциальное уравнение поступательного движения груза 3:
m3·z3 = S´3 - m3·g, (3)
Выразим ускорения φ1 и z3, через ускорение φ2:
z3 = 384091815 φ2·r2, (4). Из соотношения: φ2·R2 = φ1·r1, находим:
φ1= φ2·R2/r1, (5). Подставляем (4) и (5) в соответствующие уравнения:Jx1·φ2·R2/r1 = М - S1·r1, или:
Jx1·φ2·R2/r1 = 2700 + 200t - S1·r1,(6)
и m3· φ2·r2 = S3 - m3·g, (7), отсюда находим:
S3 = m3· φ2·r2 + m3·g, (8), из уравнения (1), получаем:
S1 = (М - Jx1·φ1)/r1 = (М - Jx1· φ2·R2/r1)/r1 =
= М/r1- Jx1· φ2·R2 /r21, (9)
Подставляем (8) и (9) в уравнение (2), учитывая, что:
S´1 = - S1 и S´3= - S3, а модули равны.
Jx2·φ2 = (М/r1- Jx1· φ2·R2/r21)·R2 - МС - (m3· φ2·r2 + m3·g)·r2 и после несложных преобразований, получим:
(Jx2+ Jx1·R22/r21 + m3·r22)·φ2 = М·R2 /r1 - МС - m3·g·r2, (10)
Ввиду громоздкости выражения, найдем предварительно числовые данные некоторых величин:
Рисунок 3.
Расчетная схема груза 3
Jx2 = m2·(ix1*)2 = 100·0,22 = 4,0 кг·м2; Jx1 = m1·(ix1*)2 = 180·(0,3·2)2 = 32,4 кг·м2;
Jx2+ Jx1·R22/r21 + m3·r22 = 4,0+ 32,4(0,3/0,4)2 + 300·0,22 = 34,225 кг·м2;
R2 /r1 = 0,3/0,4 = 0,75; - МС - m3·g·r2 = - 400 - 300·9,81·0,2 = - 988,6 Н·м и подставляя в уравнение (10), получим с учетом того, что М = 2700+200t :
34,225·φ2 = (2700 +200t)·0,75- 988,6, отсюда находим:
φ2 = [(2700 +200t)·0,75- 988,6]/34,225 = 30,282 + 4,382·t ≈ 30,28 +4,38·t, (11).
Дважды интегрируя получим:
φ2 = 30,28·t + 2,19·t2 + C1, (12)
φ2 = C1·t + 15,14·t2 +0,73·t3 + C2, (13)
Для определения постоянных интегрирования C1 и C2, используем начальные условия: при t = 0: φ10 = φ20 = 0, ω10 = 0,5с-1
но так как имеется зависимость: φ20 = ω20 = ω10·r1/R2 = 0,5·0,4/0,3 ≈ 0,667 с1, то подставляя эти значения в уравнения (12) и (13), получим:
0,667 = 30,28·0 + 2,19·02 + C1, ⇒ C1 = 0,667 с1
0 = C1·0 + 15,14·02 +0,73·03 + C2, ⇒ C2 = 0
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
