Ищем портфель X=(x1 x2 x3) где xi – доля инвестиций в i-ю ЦБ

Заданная нижняя граница эффективность портфеля μp=15%
Так как в условии не задана ковариационная матрица, то считаем заданные в условии ЦБ независимыми.
Поэтому, квадрат риска портфеля
σ2=σ12x12+σ22x22+σ32x32
Портфель минимального риска является решением задачи оптимизации
σ12x12+σ22x22+σ32x32 min
μ1x1+μ2x2+μ3x3≥μp
x1+x2+x3=1
Для решения задачи использован инструмент Поиск решения Microsoft Excel. Данные задачи и формулы вводим в ячейки Excel.
После выполнения Поиска решения по условиям: минимизация Целевой функции (Риск ПЦБ) при выполнении Ограничений 1 и 2 получаем результат:
Искомый ПЦБ на 52% состоит из ЦБ 1, на 21% из ЦБ 2 и на 27% из ЦБ 3 .
Риск такого портфеля σp=23,79% и доходность μp=15% – не ниже требуемой.
Найдем уравнение минимальной границы как функцию σ(μ) ; известно, что
σμ=α∙μ2-2β∙μ+γδ
где
α=ITV-1I
β=ITV-1μ
γ=μTV-1μ
δ=α∙γ-β2
Для расчета констант использованы функции работы с матрицами Microsoft Excel (МОБР и МУМНОЖ).
Матрица ковариаций V на диагонали содержит квадрат риска ценных бумаг.
I – единичный вектор.
– заданы
α=111∙1000006,250002,5625∙111=107,81
β=111∙1000006,250002,5625∙0,040,10,4=5,25
γ=0,040,10,4∙1000006,250002,5625∙0,040,10,4=0,47
δ=107,81∙0,47-5,252=23,38
Уравнение минимальной границы
σμ=107,81∙μ2-2∙5,25∙μ+0,4723,38
Это уравнение приводится к каноническому виду, в результате делается вывод, что эта линия – ветвь гиперболы с асимптотами
σ=αδμ-βα
σ=107,8123,38∙μ-5,25107,81
и абсолютным минимумом в точке
Mβα;1α
M=5,25107,81;1107,81
График минимальной границы построим в Excel, добавим асимптоты, точку абсолютного минимума и найденный в начале решения задачи портфель с эффективностью 0,15 и риском 0,238.